Квадратни уравнения

Квадратно уравнение е уравнение, което съдържа едно неизвестно, повдигнато на втора степен. Ако уравнението съдържа неизвестно, повдигнато на по-висока степен от втората, то вече не е квадратно уравнение.

Описание на квадратното уравнение

Стандартният вид на квадратното уравнение изглежда така:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Стойностите a, b, c са реални числа, а стойността a е различна от нула. Още названия:

ax² се нарича квадратен член,
bx се нарича линеен член,
c се нарича свободен член.

Всяко квадратно уравнение може да се приведе в стандартен вид с еквивалентни преобразувания или с други преобразувания. Пример за квадратно уравнение е това уравнение:

$3 x^{2} - 6 x + 8 = 0.$

По-труден въпрос вече може да бъде дали и това е квадратно уравнение:

$(x + 1) \cdot (x + 2) = 7.$

Никъде не се вижда x² и отдясно няма нула. С дясната страна се справяме лесно: изваждаме 7 и получаваме вида

$(x + 1) \cdot (x + 2) - 7 = 0.$

Все още няма x². Разкриваме скобите и получаваме:

$x^{2} + 2 x + x + 2 - 7 = 0$

Вече имаме x². След събирането най-после получаваме стандартния вид на квадратното уравнение:

$x^{2} + 3 x - 5 = 0.$

А следващото уравнение квадратно ли е? Може ли да се приведе в стандартен вид?

$x^{2} + 3 x + \frac{4}{x} = 0$

Отговорът е, че не може. Ако умножим цялото уравнение по променливата x, за да се освободим от променливата в знаменателя на дробта, получаваме:

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 = 0.$

Сега вече имаме x³, а такъв член в квадратно уравнение не може да има.

Има специални видове квадратни уравнения, в зависимост от стойностите на коефициентите a, b и c.

Стойности на коефициентите

За следващите раздели е изключително важно да умееш да определяш отделните коефициенти a, b и c. Да започнем с някой прост пример. Определи коефициентите на уравнението 3x² + 4x + 7 = 0. Тук е просто, a = 3, b = 4 и c = 7.

А например уравнението 3x² − x + 2 = 0? Стойностите a и c са ясни, a = 3 и c = 2, но какво е b? Грешка би било да напишем, че b = 1. Представи си, че пред x има единица, така: 3x² − 1x + 2 = 0. Сега вече може да се види по-ясно, че b = −1.

Друг интересен пример: x² − 3 = 0. Тук отново може да възникне проблем с коефициента b, останалите са очевидни: a = 1 и c = −3. Каква е стойността на коефициента b? Линейният член изобщо не се среща в това уравнение, все едно сме написали уравнението във вида x² + 0x − 3 = 0. Значи b = 0.

По-сложен пример:

$5 x^{2} + 3 x + π \cdot x = 0$

В това уравнение има два капана. Няма свободен член, така че c = 0. Квадратният член е ясен, така че a = 5. Но какво е това проклето b? Можем да преобразуваме уравнението още малко, изнасяме от двата израза променливата x пред скоби така:

$5 x^{2} + (3 + π) x = 0$

Коефициентът b отново е това, което е „пред“ променливата x, така че цялата скоба е равна на коефициента b = (3 + π). Подобно уравнение:

$- x^{2} + 4 x + 1 - \sqrt{2} = 0$

Първите два коефициента са очевидни: a = −1 и b = 4. Какъв е свободният член? Това са останалите изрази, в които няма x. Значи $c = 1 - \sqrt{2}$ . Не се плаши от корена, не хапе, това е обикновено число.

А какви са стойностите при това уравнение? (x + 1)(x + 2) = −2x. Първо трябва да приведем уравнението в стандартен вид. Разкриваме скобите и получаваме

$x^{2} + 3 x + 2 = - 2 x$

и накрая прибавяме към уравнението 2x, за да получим отдясно нула:

$x^{2} + 5 x + 2 = 0.$

Стойностите вече са очевидни: a = 1, b = 5, c = 2.

Чисто квадратно уравнение

Ако b = 0, става дума за чисто квадратно уравнение, което се решава подобно на линейните уравнения. Стандартният вид на това уравнение е:

$a x^{2} + c = 0$

Тъй като b = 0, целият линеен член bx изпада от уравнението, защото 0x = 0. Уравнението решаваме, като първо извадим свободния член. Т.е. изваждаме от уравнението стойността c. Така получаваме:

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + c & = & 0 / - c \\ a x^{2} & = & - c \end{array}$

След това разделяме уравнението на числото a. Получаваме вида:

$x^{2} = \frac{- c}{a}$

И накрая коренуваме цялото уравнение. При това дробта отдясно не бива да е отрицателна, защото от отрицателно число не може да се извади корен. Получаваме резултата:

$x_{1} = \sqrt{\frac{- c}{a}}, x_{2} = - \sqrt{\frac{- c}{a}}$

Забележи, че получаваме два резултата, единият положителен, а другият отрицателен. Това ще се види по-добре на пример. Решаваме уравнението

$2 x^{2} - 8 = 0.$

Според метода първо изваждаме члена c. Внимавай: членът c в този случай е отрицателен, така че изваждаме отрицателно число, т.е. прибавяме положително. Към цялото уравнение прибавяме +8 (целта е числото 8 да отиде отдясно). Получаваме вида:

$2 x^{2} = 8$

След това според метода разделяме уравнението на числото a, което е 2. След делението получаваме вида:

$x^{2} = 4$

Сега коренуваме.

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Защо има и минус две? Защото минус две по минус две е четири. Можем да погледнем и графичното решение: виждаме, че графиката на функцията 2x² − 8 пресича оста x точно в точките x₁ = −2 и x₂ = 2.

Графично решение на уравнението 2x^2-8=0

Реши уравнението

$80 x^{2} - 5 = 0.$

Към уравнението прибавяме 5:

$80 x^{2} = 5$

Разделяме на 80:

$x^{2} = \frac{5}{80}$

Съкращаваме дробта:

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Коренуваме:

$x_{1} = \frac{1}{4}, x_{2} = - \frac{1}{4}$

Квадратно уравнение без свободен член

Друг специфичен случай на квадратно уравнение настъпва, когато свободният член c е равен на нула. Уравнението има стандартен вид:

$a x^{2} + b x = 0$

Този вид уравнение се решава чрез изнасяне на неизвестното пред скоби:

$x (a x + b) = 0.$

Тук вече се вижда доста ясен резултат. Отново излизат два корена на уравнението, но единият от тях винаги ще е равен на нула. Цялата лява страна е произведение на два израза: x и скобата (ax + b). Кога това произведение е равно на нула? Когато поне един от тези изрази е равен на нула. Лявата страна е равна на нула в два случая:

$x = 0 или a x + b = 0.$

Първото решение вече имаме – това е нулата. Второто получаваме, като решим линейното уравнение ax + b = 0. От статията за линейните уравнения знаем, че това уравнение има точно едно решение, което е равно на:

$x = - \frac{b}{a}$

Така вече можем да запишем резултата на цялото квадратно уравнение ax² + bx = 0:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a} .$

Пример:

$6 x^{2} + 3 x = 0$

Изнасяме x пред скоби:

$x (6 x + 3) = 0$

Първото решение е x = 0. Второто решение намираме, като решим линейното уравнение 6x + 3 = 0:

$x = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2} .$

Записваме резултата:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{1}{2} .$

Отново можем да погледнем графиката на функцията, която пресича оста x точно в тези точки:

Графика на функцията 6x^2+3x

Други начини на решаване

Това бяха основните техники за специфични видове квадратни уравнения. Общото квадратно уравнение се решава с дискриминантата. Към другите видове уравнения спада квадратното уравнение с параметър.

Калкулатор

Въведи коефициентите a, b и c на общото уравнение ax² + bx + c = 0 и калкулаторът ще пресметне дискриминантата и корените. Отделно го има и като калкулатор за квадратно уравнение.

Глави: Квадратни уравнения, Дискриминанта, Квадратно уравнение с параметър, Квадратни уравнения в множеството на комплексните числа

« Предишна: Линейно уравнение с параметър

Следваща: Дискриминанта »