Правоъгълен триъгълник

Правоъгълният триъгълник има един прав вътрешен ъгъл, т.е. с мярка 90 градуса. Този триъгълник има няколко интересни свойства, за които ще стане дума в тази статия.

Основно описание

Правоъгълният триъгълник вече беше описан отчасти в основната статия за триъгълниците. Правоъгълният триъгълник има един вътрешен ъгъл с мярка 90 градуса. Двата останали вътрешни ъгъла непременно са по-малки от 90 градуса, защото иначе сборът на вътрешните ъгли не би бил равен на 180 градуса. Нещо повече, сборът на двата останали ъгъла е точно 90 градуса.

Правоъгълният триъгълник, разбира се, има три страни. Две от тях се наричат катети (червените страни) – това са по-късите страни, а третата страна се нарича хипотенуза (синята страна) – това е най-дългата страна. Хипотенузата е винаги срещу върха, при който е правият ъгъл.

Питагорова теорема

Може би най-известната математическа теорема изобщо, Питагоровата теорема, е в сила именно в правоъгълния триъгълник. Питагоровата теорема говори за дължините на страните на триъгълника. Теоремата гласи: „Лицето на квадрата върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равно на сбора от лицата на квадратите върху катетите му“. Записано математически за нашия триъгълник, в който хипотенуза е страната a:

$$a^2=b^2+c^2$$

Питагоровата теорема на фигурата, този път с обичайното означение с хипотенуза c: Теоремата е разгледана в отделна статия.

Лице на правоъгълния триъгълник

В правоъгълния триъгълник лицето се пресмята много лесно, защото височините съвпадат с катетите. Представи си правоъгълния триъгълник от първата фигура. Как бихме пресметнали лицето му, без да знаем някаква височина? Можем да допълним триъгълника така, че да се получи правоъгълник. Страните на правоъгълника ще са катетите на триъгълника, а другите две страни допълваме така, че наистина да се получи правоъгълник: Лицето на правоъгълник вече умеем да пресмятаме – то е произведението на дължините на две съседни страни, в нашия случай произведението на червените страни AC и AB. Така получаваме лицето на правоъгълника. Хипотенузата BC обаче е диагонал на правоъгълника, който разполовява правоъгълника, затова ако лицето на правоъгълника разделим на две, получаваме лицето на правоъгълния триъгълник. Формулата изглежда така:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

където b и c са дължините на катетите.

Тригонометрични функции синус и косинус

В правоъгълния триъгълник се определят основните тригонометрични функции и връзките между тях. Тригонометричните функции синус, косинус, тангенс и котангенс изразяват отношение между дължините на страните в правоъгълния триъгълник. Нека още веднъж разгледаме първия триъгълник, този път с откроени ъгли.

Ако искаме да намерим отношението на дължините на две страни, вземаме двете дължини и ги делим в посочения ред. Например отношението на дължините на страните b:c (четем „бе към це“) получаваме чрез деление 3/5 (страната b има дължина 3, страната c – 5).

Функцията синус работи с отношението на две страни и един ъгъл. За нашата фигура е в сила: ако вземем отношението на страните b:a, получаваме стойността на синуса на ъгъла β. Косинусът действа подобно, само че за отношението c:a и същия ъгъл β. Записано:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Синусът и косинусът работят винаги само с онези ъгли в правоъгълния триъгълник, които са по-малки от 90 градуса. В случая това са ъглите β и γ. За такива ъгли синусът и косинусът винаги дават число от интервала (0; 1), затова можеш да запомниш правилото, че винаги делиш по-късата страна на по-дългата – за да получиш число точно от интервала (0; 1).

И двете функции работят с един катет и хипотенузата, никога с двата катета едновременно. Тъй като винаги делиш по-късата на по-дългата, хипотенузата е винаги в знаменателя на дробта. Ако погледнеш формулите по-горе, в знаменателя винаги е a – хипотенузата на триъгълника.

Последното правило е, че синусът работи със срещулежащия катет, а косинусът – с прилежащия. Какво означава това? Ако имаме ъгъл β, прилежащият катет е този, който излиза от върха B – катетът c. Срещулежащият е другият катет – катетът b. Затова във формулата на синуса е страната b, а във формулата на косинуса – страната c.

Обобщение: синусът е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата, косинусът – отношението на прилежащия катет към хипотенузата. Как можем да използваме това? Ако знаеш ъглите на триъгълника и дължината на хипотенузата или на единия катет, можеш да пресметнеш дължините на останалите страни. Пример:

За предишния триъгълник е в сила:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Каква е дължината на страната a? Знаем, че:

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

Стойността на синуса знаем, дължината на страната b също знаем, търсим дължината на страната a. Изразяваме a чрез еквивалентни преобразувания:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(Първо умножихме уравнението по a, а после го разделихме на синуса.) От дясната страна вече имаме само известни стойности, затова заместваме. Стойността на синуса пресмятаме с калкулатор.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Страната a има дължина 5,83. Ако пресмяташ синус с калкулатор, внимавай да е включен режимът за градуси. Често проблемът е в това, че пресмяташ с радиани, които са друга мярка за ъгли. Между двете мерки има следната връзка:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

където deg е стойността ти в градуси.

Тригонометрични функции тангенс и котангенс

В правоъгълния триъгълник лесно можем да използваме и тези две функции. Отново винаги работим с ъгли, по-малки от 90 градуса. За разлика от синуса и косинуса обаче тези функции не работят с хипотенузата на триъгълника, а само с катетите. Тангенсът на ъгъл е равен на отношението на срещулежащия катет към прилежащия, а котангенсът – на отношението на прилежащия катет към срещулежащия.

За предишния триъгълник е в сила:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \mathrm{cotg}(\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Нека в предишния триъгълник пресметнем дължината на страната AC (страната b) с помощта на ъгъла β. Мярката му знаем от предишния пример. Знаем, че:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{b}{c}$$

Изразяваме страната b:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \mathrm{tg}(\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \mathrm{tg}(\beta )\end{array}$$

(Само умножихме уравнението по c и разменихме страните.) Сега вече знаем всичко необходимо, за да пресметнем дължината на страната b. Заместваме:

$$b=c\cdot \mathrm{tg}(\beta )=5\cdot \mathrm{tg}(30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Още от фигурата се вижда, че получихме верния резултат. Само че отново внимавай: във формулата в тангенса стои стойност в градуси, докато калкулаторът може да изисква ъгъл в радиани.

За илюстрация можем да пресметнем същата страна и с помощта на котангенса:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{cotg}(\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \mathrm{cotg}(\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\mathrm{cotg}(\beta )}\end{array}$$

Заместваме стойностите:

$$b=\frac{5}{\mathrm{cotg}(30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Отново получихме верния резултат.