Дискриминанта

Дискриминантата е израз, с чиято помощ можем да пресметнем решенията на общо квадратно уравнение, а също да определим дали уравнението има решение и колко такива решения има.

Формула и основни връзки

Първо повтаряме стандартния вид на квадратното уравнение:

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0$

където a, b, c са реални числа. Дискриминантата, да я означим с D, пресмятаме така:

$D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$

Пример: нека имаме квадратното уравнение 3x² + 5x − 7 = 0. За това уравнение a = 3, b = 5, c = −7. Дискриминантата пресмятаме така:

$D = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7) = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 25 + 84 = 109$

Резултатът е 109. Какво ни казва това число? Ако дискриминантата е…

положителна, уравнението има два различни реални корена,
нула, уравнението има два равни реални корена,
отрицателна, уравнението няма решение в множеството на реалните числа. Има обаче решение в множеството на комплексните числа.

Как да пресметнем корените на квадратно уравнение

С помощта на дискриминантата можем да пресметнем направо корените на квадратното уравнение. Формулата за пресмятане на корените гласи така:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a},$

където D е дискриминантата. Цялата формула, в която дискриминантата е изразена чрез коефициентите, изглежда така:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Да опитаме с тази формула да пресметнем корените на квадратното уравнение x² + 7x + 12 = 0. Първо пресмятаме дискриминантата:

$D = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1.$

Дискриминантата е положителна, значи уравнението има два различни реални корена. Пресмятаме първия корен. Първо ще прибавяме корена от дискриминантата, във втория случай ще го изваждаме:

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 + 1}{2} = - \frac{6}{2} = - 3.$

Първият корен е −3. Втория корен пресмятаме с изваждане на корена:

$x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 - 1}{2} = - \frac{8}{2} = - 4.$

Сега вече имаме и двата корена на уравнението, x₁ = −3 и x₂ = −4.

За да овладееш този метод, е абсолютно необходимо да умееш правилно да определяш стойностите на a, b и c. Как се определят правилно, е описано в първата статия за квадратните уравнения.

А какво означава това решение графично, как изглежда на графиката? Ако начертаем графиката на функцията от лявата страна на уравнението, ще установим, че графиката на тази квадратна функция пресича оста x в две точки – в точките x₁ = −3 и x₂ = −4.

Графика на функцията y=x^2+7x+12

Нулева дискриминанта

Ако дискриминантата е нула, това означава, че уравнението има решение, но само едно; или по-точно две, но равни. Пример: реши уравнението x² − 10x + 25 = 0. Пресмятаме дискриминантата:

$D = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0.$

Корена пресмятаме както в предишния раздел, по формулата. Но тъй като дискриминантата е нула, от формулата ни изчезва плюс/минус коренът от D, защото бихме прибавяли/изваждали нула.

$x_{1, 2} = \frac{- (- 10)}{2} = \frac{10}{2} = 5.$

Получихме един двоен корен, x = 5. Какво означава това графично? Че графиката на дадената функция се допира до оста x точно в една точка, във върха си.

Графика на функцията y=x^2-10x+25

Отрицателна дискриминанта

Ако дискриминантата ни излиза отрицателна, квадратното уравнение няма решение в множеството на реалните числа. Уравнението можем да решаваме в множеството на комплексните числа, но за това ще има следваща статия. За пример да опитаме да решим това квадратно уравнение: x² + x + 1 = 0. Дискриминанта:

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3.$

Значи квадратното уравнение няма решение в множеството на реалните числа. Можеш да го провериш – многочленът x² + x + 1 ще е положителен за всички реални числа. Например ако заместиш x с 1, получаваш: 1 + 1 + 1 = 3. Ако x = −1, имаме 1 − 1 + 1 = 1. Ако x = 0, имаме 0 + 0 + 1 = 1. Подобно е и за другите числа. Можеш да разгледаш и графиката на функцията y = x² + x + 1, тя никога не пресича оста x.

Графика на функцията y=x^2+x+1

Формули на Виет

Вече знаем как да пресметнем решенията на квадратно уравнение. Но каква е връзката между тях? Да опитаме да съберем двете решения x₁ и x₂:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{- b + \sqrt{D} - b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a} \end{array}$

Ако съберем корените на квадратното уравнение ax² + bx + c = 0, получаваме частното −b/a. Какво става, ако умножим корените?

$\begin{array}{rcl} x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{b^{2} + b \cdot \sqrt{D} - b \cdot \sqrt{D} - D}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - D}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} \\ = & \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} \end{array}$

Значи ако умножим корените, получаваме числото c/a. И това са формулите на Виет. Още веднъж заедно:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - \frac{b}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{c}{a} \end{array}$

Забележи, че в знаменателя на дробта винаги стои a. Специален случай е квадратното уравнение, за което a = 1. Тогава можем да напишем формулите на Виет така:

$\begin{array}{rcl} ако a = 1 : \\ x_{1} + x_{2} & = & - b \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & c \end{array}$

Това можем да използваме при търсене на решенията на квадратни уравнения. Вместо да пресмятаме сложно дискриминантата, можем да погледнем дали можем да намерим такива числа x₁ и x₂, за които са изпълнени горните връзки. Пример: намери решенията на уравнението x² + 8x + 15 = 0. Тук a = 1, така че можем да използваме по-простите формули на Виет. Търсим числа x₁ и x₂, за които:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - 8 \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & 15 \end{array}$

Ако се ограничим само до цели числа, имаме общо четири възможности да получим 15 като произведение:

$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 15 & = & 15 \\ 3 \cdot 5 & = & 15 \\ - 3 \cdot (- 5) & = & 15 \\ - 1 \cdot (- 15) & = & 15 \end{array}$

Сега трябва сборът на числата отляво да е −8. Само една двойка дава такъв сбор, и това са −3 и −5. Следователно тези числа са решенията на квадратното уравнение. Можем да опитаме да ги заместим в уравнението, трябва да ни излезе нула:

$\begin{array}{rcl} (x = - 3) : & (- 3)^{2} + 8 \cdot (- 3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0 \\ (x = - 5) : & (- 5)^{2} + 8 \cdot (- 5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0 \end{array}$

Вярно е. Ако знаеш корените, можеш да запишеш уравнението и в по-четлив вид. Ако x₁ и x₂ са корените на уравнението ax² + bx + c = 0, то при a = 1 можеш да препишеш уравнението във вида

$(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0.$

Така предишното уравнение можем да препишем във вида:

$(x - (- 3)) (x - (- 5)) = (x + 3) (x + 5) = 0.$

Глави: Квадратни уравнения, Дискриминанта, Квадратно уравнение с параметър, Квадратни уравнения в множеството на комплексните числа

« Предишна: Квадратни уравнения

Следваща: Квадратно уравнение с параметър »