Funktionsundersøgelse: ekstrema

En funktions ekstrema er de punkter, hvor funktionen antager sine største eller mindste værdier.

Funktionens ekstrema

Vi skelner mellem to grundtyper af ekstrema — minimum og maksimum. Videre skelner vi mellem globalt maksimum/minimum og lokalt maksimum/minimum. Det globale maksimum er det punkt, hvor funktionen har den største værdi af alle punkter i definitionsmængden. Hvis denne værdi er den eneste, siger vi, at der er tale om et strengt maksimum. En funktion kan nemlig have sin højeste værdi i flere punkter, ligesom for eksempel to forskellige ansatte kan have den højeste løn på en halv million kroner om måneden. Definitionerne af minimum og maksimum står i artiklen om funktioner.

Det lokale minimum definerer vi så kun på en del af funktionens definitionsmængde, typisk på et eller andet interval. Definition af lokalt maksimum og minimum:

• Funktionen f har i punktet M ∈ Dm(f) et lokalt maksimum, hvis der findes en omegn U = ]M − ϵ; M + ϵ[, hvor ϵ > 0, således at der for alle x ∈ U ∩ Dm(f) gælder f(x) ≤ f(M).
• Funktionen f har i punktet m ∈ Dm(f) et lokalt minimum, hvis der findes en omegn U = ]m − ϵ; m + ϵ[, hvor ϵ > 0, således at der for alle x ∈ U ∩ Dm(f) gælder f(x) ≥ f(m).

Et eksempel på en funktion, der har uendeligt mange ekstrema, er funktionen f(x) = x · sin x:

Og hvorfor står der i definitionen »for alle x ∈ U ∩ Dm(f)«, altså hvorfor er der fællesmængden med definitionsmængden? For eksempel fordi funktionen givet ved denne graf…

…har et minimum i punktet m = 1, men samtidig er funktionen ikke defineret i nogen venstreomegn af punktet m = 1, så det ville ikke i denne venstreomegn gælde, at f(x) ≥ f(m). Når vi også tager fællesmængden med definitionsmængden, får vi kun højreomegnen.

Det grundlæggende princip for at finde ekstrema

Men lad os nu vende tilbage til grafen for funktionen f(x) = x² + 1 sammen med tre tangenter:

Vi koncentrerer os først og fremmest om tangenten c. Vi ser, at tangenten rører grafen i minimummet for funktionen x² + 1 og er vandret, altså parallel med x-aksen. Den »danner« således en vinkel på 0 grader med den positive x-akse. Hvad ville der ske, hvis vi vendte funktionen om, så funktionen i stedet for et minimum havde et maksimum? Graf for funktionen −x² + 1:

Vi bemærker, at tangenten c, som går gennem maksimummet for funktionen −x² + 1, igen er parallel med x-aksen. Heraf opstår en regel: Hvis vi leder efter funktionens minimum eller maksimum, leder vi efter en tangent, som er parallel med x-aksen, og som har en tangens til den vinkel, den danner med x-aksen, der er lig med nul. Af den forrige figur kan man se, at tan(0°) = 0. I forbindelse med differentialkvotienter leder vi således efter et punkt, hvor differentialkvotienten er lig med nul: f′(x) = 0.

Lad os beregne ekstremum for vores yndlingsfunktion f(x) = x² + 1 ved hjælp af differentialkvotienter. Den afledede funktion af f er f′(x) = 2x. Videre leder vi efter, hvornår den første afledede er lig med nul, dvs. vi løser ligningen f′(x) = 0; efter indsættelse 2x = 0. Det gælder trivielt for x = 0. Vi ser, at det stemmer med, at funktionen f(x) = x² + 1 har et globalt minimum i punktet x = 0.

Undtagelser fra »reglen«

Man kunne have lyst til at sige, at en funktion har et ekstremum i punktet x, netop når differentialkvotienten i dette punkt er lig med nul. Det er desværre ikke rigtigt, så enkelt er det ikke. Lad os se på de følgende eksempler:

• Vi prøver at finde ekstrema for funktionen f(x) = x³. Den første afledede af denne funktion er f′(x) = 3x². Vi løser ligningen f′(x) = 0, altså 3x² = 0. Det gælder åbenbart for x = 0. Men har funktionen x³ et ekstremum i punktet x = 0? Lad os se på grafen:

  

  Vi ser, at der i punktet x = 0 ikke optræder noget ekstremum for funktionen. Hverken globalt eller lokalt. Hvorfor bliver differentialkvotienten så nul i dette punkt? Fordi tangenten t simpelthen er parallel med x-aksen i dette punkt, se den følgende figur:

  

• Hvad med sådan en sød funktion som f(x) = |x|, dvs. numerisk værdi af x? Af grafen kan vi aflæse, at den har et globalt minimum i punktet x = 0:

  

  Men denne funktion har ikke nogen differentialkvotient i punktet x = 0! I punktet x = 0 har funktionen ingen tangent, for det er svært at sige, hvordan en sådan tangent skulle se ud.

Der gælder således:

• Hvis funktionen f har et ekstremum i punktet x, dvs. et minimum eller et maksimum, og hvis der i dette punkt findes en differentialkvotient (!), så er denne differentialkvotient nul. Det kan ske, at funktionen har et ekstremum i punktet x og samtidig ikke har nogen differentialkvotient i det givne punkt.

• Hvis funktionen f har differentialkvotienten nul i punktet x, så kan der være et ekstremum i dette punkt, men der behøver ikke at være det.

Sådan finder du en funktions ekstrema

Vi vil antage, at vi har en funktion f, som er differentiabel på hele sin definitionsmængde. I første trin differentierer vi altså funktionen f, og dermed får vi funktionen f′. Videre sætter vi den første afledede lig med nul, dvs. vi løser ligningen f′(x) = 0. Løsningerne til denne ligning er de punkter, som er »mistænkte« for at være ekstrema, eller stationære punkter.

Videre må vi afgøre, hvilke af de stationære punkter der er ekstrema. Det finder vi for eksempel ud af ved hjælp af den anden afledede af funktionen f. Hvis s er et stationært punkt, dvs. hvis f′(s) = 0, så gælder: hvis f′′(s) > 0, så er der et minimum i punktet s, mens der, hvis f′′(s) < 0, er et maksimum i punktet s.

Hvis den anden afledede også er nul i dette punkt, må vi fortsætte med at differentiere, mere om det senere. Nu et eksempel. Lad os have funktionen f(x) = 3x² + 6x. Find dens ekstrema.

Vi beregner den første afledede: f′(x) = 6x + 6. Vi sætter den første afledede lig med nul:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

I punktet x = −1 ligger der således et stationært punkt; et punkt, der er mistænkt for at være et ekstremum. Vi beregner den anden afledede. Den er lig med funktionen f′′(x) = 0x + 6. Når vi indsætter punktet x = −1, får vi f′′(−1) = 6. Resultatet er positivt, funktionen har et minimum i det givne punkt. Graf:

Hvad hvis den anden afledede også er nul?

Lad os prøve at finde ekstremum for funktionen f(x) = x⁴, graf:

Den første afledede af denne funktion er f′(x) = 4x³. Løsningen til ligningen f′(x) = 0 er naturligvis det eneste stationære punkt s = 0. Vi beregner den anden afledede, den er lig med f′′(x) = 12x². I denne anden afledede indsætter vi det stationære punkt s, så vi får

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Vi fik nul, og ud fra det, vi hidtil har anført, kan vi derfor ikke se, om der er et ekstremum i punktet eller ej. Men vi kan se, at der er et ekstremum i punktet. Hvis denne situation opstår, differentierer vi videre. Vi finder den tredje afledede og indsætter det stationære punkt s. Hvis der kommer et tal forskelligt fra nul, er der i punktet s et såkaldt vendepunkt (mere om det senere). Hvis der kommer nul, differentierer vi videre. Ved den fjerde afledede afgør vi det på samme måde som ved den anden — vi indsætter det stationære punkt, og en positiv funktionsværdi betyder, at der er et minimum, en negativ, at der er et maksimum.

Den tredje afledede er lig med f′′′(x) = 24x, efter indsættelse har vi f′′′(0) = 0, så vi differentierer videre. Den fjerde afledede har formen f′′′′(x) = 24. Vi ser, at den fjerde afledede allerede altid er positiv, hvoraf vi — ligesom ved den anden afledede — kan udlede, at funktionen har et minimum i punktet s = 0. Og det har den også.

Opsummering af fremgangsmåden til at finde en funktions ekstrema

1. Vi har givet en funktion f, som er differentiabel.

2. Vi differentierer funktionen f.

3. Vi løser ligningen f′(x) = 0. Alle de s, som er løsninger til ligningen, kalder vi stationære punkter, eller punkter, der er mistænkt for at være ekstrema.

4. Vi beregner den anden afledede.

5. Vi beregner værdien af den anden afledede i alle stationære punkter s. Hvis f′′(s) > 0, har funktionen et minimum i punktet s, hvis f′′(s) < 0, er der et maksimum i punktet s. Hvis f′′(s) = 0, differentierer vi videre.

   Tip: Hvis du ikke gider huske, om den anden afledede skal være positiv eller negativ, for at der i punktet er et maksimum eller et minimum, så udled det simpelthen for eksempel af funktionen x². Grafen for denne funktion bør du kende, og både den første og den anden afledede er enkle: f′(x) = 2x og f′′(x) = 2. Den anden afledede er altså altid positiv, og funktionen x² har et minimum i punktet x = 0.

6. Vi beregner den tredje afledede. Hvis f′′′(s) ≠ 0, er der i punktet s et vendepunkt, ellers differentierer vi videre.

7. Vi beregner den fjerde afledede. Hvis f′′′′(s) ≠ 0, er der et ekstremum i punktet. Ellers differentierer vi videre.

8. Og så videre og så videre. Hvis den første afledede, der er forskellig fra nul, er af ulige orden, er der tale om et vendepunkt. Hvis den er af lige orden, er der tale om et ekstremum.