Enhedscirklen

Enhedscirklen er en almindelig cirkel, som er dimensionsløs, mere præcist er radius i denne cirkel lig med én. Enhedscirklen bruges til en pæn illustration af definitionerne af de enkelte trigonometriske funktioner.

Hvad er enhedscirklen

Enhedscirklen er en cirkel, der har radius med længden én, og hvis centrum ligger i koordinatsystemets origo, altså i punktet (0, 0). Se på den følgende figur:

Cirklen er desuden delt i fire dele, som vi kalder kvadranter. Øverst til højre er første kvadrant, øverst til venstre anden, nederst til venstre tredje og nederst til højre fjerde. Fordi vi skal bruge denne cirkel til at illustrere vinkler, er graderne fremhævet på cirklen. Der, hvor der er nul grader, begynder vinklens ben sædvanligvis og drejer mod uret. Derfor er punktet (0, 1) markeret med en ret vinkel.

Definition af sinus og cosinus på cirklen

På enhedscirklen kan man meget pænt illustrere de enkelte trigonometriske funktioner. Først tegner vi en vinkel på enhedscirklen, og derefter viser vi, hvor vi på enhedscirklen kan aflæse værdierne af de enkelte funktioner.

Vi har tegnet vinklen AOB (rød) på cirklen. Denne vinkel har vi kaldt alfa. Vinklens ben skærer enhedscirklen i to punkter: A og B. Punktet B bliver vigtigt for os. Hvis vi fra punktet B tegner en linje parallel med x-aksen (på figuren er det den stiplede vandrette linje), så skærer denne linje y-aksen i netop ét punkt. Dette punkt kalder vi P_s. Her gælder, at længden af linjestykket OP_s (det grønne linjestykke) er lig med sinus til vinklen alfa.

Fordi vi bevæger os i enhedscirklen, som har centrum i koordinatsystemets origo, gælder det, at længden af linjestykket OP_s (det grønne linjestykke) er lig med y-koordinaten til punktet P_s, hvilket er lig med y-koordinaten til punktet B.

På samme cirkel kan vi også aflæse cosinus. Vi tegner altså en linje parallel med y-aksen gennem punktet B. Denne linje skærer x-aksen i et punkt, som vi kalder P_c. Længden af linjestykket OP_c er så lig med cosinus til vinklen alfa. Igen kan vi sige, at denne værdi er lig med x-koordinaten til punkterne B og P_c.

Definition af tangens og cotangens

Ligesom vi på enhedscirklen definerede sinus og cosinus, kan vi her definere tangens og cotangens. For overskuelighedens skyld viser vi først, hvor tangens optræder på enhedscirklen. Til det får vi brug for endnu en linje. Det bliver linjen, som er parallel med y-aksen og går gennem punktet A, altså punktet (1, 0). På den følgende figur er det den blå linje:

Denne linje skærer halvlinjen (vinklens ben) OB i ét punkt, som vi kalder P_t. Længden af linjestykket AP_t er så lig med tangens til vinklen alfa. Igen gælder det, at det er nok at tage y-koordinaten til punktet P_t, så får vi også tangens til vinklen alfa.

For at illustrere cotangens på enhedscirklen får vi brug for endnu en linje. Denne gang er det linjen, som går gennem punktet (0, 1) og er parallel med x-aksen. Den er igen fremhævet med blå farve:

Denne linje skærer halvlinjen (vinklens ben) OB i ét punkt, som vi kalder P_k. Længden af linjestykket CP_k er så lig med cotangens til vinklen alfa. Som altid kan vi nøjes med at tage x-koordinaten til punktet P_k, og vi får cotangens til vinklen.

Spørgsmålet er, hvad der sker, hvis vinklen alfa er større end 90 grader ved tangens og større end 180 grader ved cotangens, fordi linjen i disse tilfælde ikke skærer vinklens ben, se den følgende figur:

I det tilfælde gør vi halvlinjen OB til en linje, og denne linje skærer så linjen p.

På samme måde ville vi gå frem i tilfældet tangens.

Hvornår tangens og cotangens ikke er defineret

På enhedscirklen kan vi lægge mærke til en interessant ting. Hvis vinklen alfa er lig med 180 grader, så skærer linjen p og vinklens ben aldrig hinanden, fordi de er parallelle. Hvordan løser vi dette problem? Slet ikke, cotangens til 180 grader er ikke defineret. På samme måde er tangens til 90 grader ikke defineret, fordi sådan et ben er parallelt med y-aksen og dermed også parallelt med den linje, som det skulle skære. Den følgende figur viser det i det mindste for cotangens.