Sådan konstruerer du en trekant

En trekant er en polygon, der har præcis tre sider. Siderne betegner vi med små bogstaver, klassisk a, b, c. En trekant har også tre hjørner, som vi betegner med store bogstaver, klassisk A, B, C. Siden a svarer så til linjestykket BC, siden b til linjestykket AC og siden c til linjestykket AB. Siden a er altid over for hjørnet A, tilsvarende for de øvrige sider.

Vi kender alle tre sider

Når vi kender længderne af alle tre sider, er det en smal sag at konstruere trekanten. Vi vælger en af siderne, for eksempel AB, og tegner den som et almindeligt linjestykke. Derefter skal vi finde ud af, hvor det tredje punkt ligger. Det gør vi nemt: vi tager en passer, sætter spidsen i punktet B og slår en cirkel med radius lig med længden af siden BC, for eksempel fem centimeter. Dermed finder vi ud af, hvor punktet C kan ligge, hvis det skal være præcis fem centimeter fra punktet B. Derefter gør vi det samme med siden AC og punktet A. Nu har vi to cirkler, og deres skæringspunkt giver os et punkt, der har den fastsatte afstand i centimeter fra hjørnet A og ligeledes fra punktet B.

Vi kender to sider og en højde

Hver side i en trekant har sin højde, som defineres som den vinkelrette linje fra det modstående punkt til den bestemte side. Hvis den vinkelrette linje ikke skærer selve siden, må vi forlænge siden helt til det sted, hvor den skærer den vinkelrette linje. Højdens grundlæggende egenskab er altså, at den står vinkelret på den side, som den hører til. Det udnyttes ofte i regneopgaver, fordi vi kan bruge Pythagoras' sætning. Højden på siden c skrives som regel med det lille bogstav h og i nedsænket indeks betegnelsen for den side, som højden hører til. Altså i vores tilfælde h_c. Fodpunktet (skæringspunktet mellem siden og den vinkelrette linje) betegnes tilsvarende, bare i stedet for det lille h skriver vi et stort P: P_c.

Vi har tegnet højden fra hjørnet C. Det andet punkt ligger på den modstående side AB (altså siden c), og linjestykket CP_c står vinkelret på siden c. Punktet P_c kaldes højdens fodpunkt; siden c kalder vi grundlinjen. Fodpunktet navngiver vi som regel med bogstavet P og et nedsænket indeks, hvor vi angiver det hjørne, højden udgår fra. I dette tilfælde er det hjørnet C.

Højden er forholdsvis let at tegne: du tager en lineal og tegner en vinkelret linje på siden c, så den går netop gennem punktet C. Det er alt.

Højden kan vi tegne fra hvert hjørne i trekanten. Alle højderne skærer så hinanden i et punkt, som kaldes ortocenteret. Ortocenteret kan ligge inden i trekanten, men behøver ikke. I en spidsvinklet trekant ligger ortocenteret inden i trekanten.

Vi kender to sider og en median

Ud over højden har hver trekant også tre medianer. En median er et linjestykke, der forbinder et hjørne med midtpunktet på den modstående side. Alle tre medianer skærer hinanden i ét eneste punkt, som kaldes tyngdepunktet. Dette tyngdepunkt deler derefter medianerne altid i forholdet 2:1 — den del af medianen, der ligger før tyngdepunktet, er enten halvt så lang eller dobbelt så lang som den anden del efter tyngdepunktet. Medianerne navngives med det lille bogstav m og i nedsænket indeks den side, som de hører til. Tyngdepunktet navngives så som regel med ét stort bogstav T.

Hvis du kender to sider og medianen til en af disse to sider, kan du konstruere trekanten meget let. Du begynder igen med at tegne siden AB og finder derefter ud af, hvor punktet C ligger, ved at tegne to cirkler, den første med centrum i punktet B (eller A, hvis du kender længden AC) og den anden med centrum i midtpunktet på siden AB. Punktet, hvor cirklerne skærer hinanden, er det søgte punkt C. Fremgangsmåden er den samme som i det første tilfælde, bare at du i stedet for trekanten ABC først konstruerer trekanten M_cBC, hvoraf du finder det søgte hjørne C.

Vi kender to sider og en anden median

Se først på tegningen, hvordan det måske skal se ud:

De elementer, der er markeret med rødt, kender vi, og ud fra dem skal vi konstruere hele trekanten. Fremgangsmåden er følgende — vi udvider denne trekant til en firkant og konstruerer resten ud fra firkanten. Det forklarer den følgende figur tydeligt (jeg minder om, at længden BD er lig med to gange længden af m_b).

Denne firkant konstruerer vi enkelt. Først konstruerer vi trekanten ABD. Længden af siden AB kender vi, længden af siden BD er 2m_b, og længden af AD er den samme som længden af BC. Punktet C finder vi enten ved at finde punktet M_b, som er midtpunktet på linjestykket BD, og derefter konstruere halvlinjen AM_b, og længden af AC er længden af 2AM_b. Den anden mulighed er at tegne en linje parallel med siden AB, og punktet C vil ligge på denne linje og være i afstanden |AB| fra punktet D.