Vinkel

Hvis du har en vinkel og vil kopiere den et andet sted hen, kan du bruge metoden til at afsætte vinkler.

Hvad er en vinkel

Definitionen af en vinkel er ikke helt enkel, og der findes forskellige versioner. Men til vores formål kan denne variant være nok: En vinkel er den del af planen, som afgrænses af to halvlinjer med fælles begyndelsespunkt. Det vigtige ved denne definition er, at en vinkel ikke kun er de to ben, men hele det areal, hele den del af planen, som de to ben indeslutter. Se den følgende figur:

Den foregående figur var dog ikke helt korrekt, for vi har ikke angivet, hvilken vinkel vi mener. Ved første øjekast kunne vi godt forestille os, at vinklen ABC er det nævnte areal, men lige så godt kunne vi forestille os den anden del af planen:

Derfor bør vi, når vi skriver vinkler op, skelne mellem, om vi mener en konveks vinkel (en, der er mindre end 180°), eller en ikke-konveks vinkel (større end 180°). En ikke-konveks vinkel kan vi også kalde en konkav vinkel. Det kan for eksempel skrives ved hjælp af en orienteret vinkel.

En vinkel kan have enten positiv eller negativ orientering. Ved positiv orientering går vi mod uret, og ved negativ med uret. Når vi skriver vinklen ABC, nævnes altså halvlinjen BA først og halvlinjen BC som den anden. I positiv retning ser vi på halvlinjen BA og går derfra videre mod uret. I vores eksempel ovenfor ville vi få den første figur, den konvekse vinkel. Hvis vi valgte negativ retning, ville vi få den ikke-konvekse vinkel, altså den anden figur. Som standard regner man med positiv retning, og også i denne artikel er vinklerne skrevet i positiv retning.

En vinkel består altså af to ben, som afgrænser vinklen, af vinkelspidsen, som halvlinjerne udgår fra, og af det areal, som vinklens ben afgrænser. Hvis vi har vinklen ABC, er vinklens ben BA og BC, og vinkelspidsen er B.

Vinklens størrelse

Ligesom vi kan måle længden af et linjestykke, kan vi også måle vinklens størrelse. Den måles enten i det klassiske gradmål, som du helt sikkert kender, eller i buemål. Gradmålet er enkelt: 90° er en ret vinkel (for eksempel har de indre vinkler i et kvadrat hver 90°), 180° er en flad vinkel (den dannes for eksempel af to modsatte halvlinjer), og 360° er en fuld vinkel (den dannes af halvlinjer, der ligger oven på hinanden — sådan en vinkel udgøres af hele den omgivende plan). En grad deles videre i bueminutter (skrives ′) og buesekunder (skrives ″). Én grad har 60 bueminutter, og ét bueminut har tres buesekunder. 1° = 60′ og 1′ = 60″.

Figurer af de enkelte vinkler:

Buemål er lidt sværere at forestille sig, fordi man her regner med radianer, som er dimensionsløse. Størrelsen af en radian og andre egenskaber har jeg dog allerede beskrevet ved de trigonometriske funktioner, så jeg gentager det ikke.

Vinkler kan vi desuden inddele efter størrelse i spidse vinkler, som er mindre end 90°, og stumpe vinkler, som ligger mellem 90° og 180°. Det er en slags delmængde af den konvekse vinkel, som jeg viste ovenfor. En ikke-konveks vinkel er større end 180° og deles ikke videre.

Vinkelpar

Nogle bestemte vinkelpar har forskellige egenskaber, som det er godt at kende til.

• Topvinkler er vinkler, som har fælles vinkelspids, og hvis ben danner modsatte halvlinjer. Topvinkler er altid ens, de har samme størrelse.

• Nabovinkler er vinkler, som har ét ben fælles, og hvis andre ben er modsatte halvlinjer. Summen af nabovinkler er altid lig med 180°, en flad vinkel.

• Ensliggende vinkler er vinkler, hvis første ben er parallelle, og hvis andre ben ligger på samme linje. Det skal også gælde, at vinklerne har samme orientering. Ensliggende vinkler er ens.

Der findes endnu flere typer vinkler, men det er kun placeringer, som kan udledes af de tre ovenfor beskrevne placeringer.

Regneoperationer med vinkler

Med vinkler kan vi udføre visse elementære regneoperationer. Den mest grundlæggende er addition. Numerisk er der næsten ikke noget at forkludre, du lægger bare vinklernes størrelser sammen. Hvis en vinkel er større end 360°, omregner man den som regel til en simplere form, et sted i intervallet 0° − 360°. Kort sagt, som om du regnede i et talsystem med grundtal 360. Tilsvarende, hvis du i et eksempel har bueminutter eller buesekunder, skal du regne i et talsystem med grundtal 60 (ligesom et almindeligt ur).

Så for en sikkerheds skyld et eksempel. Læg disse vinkler sammen: α = 183° 51′ og β = 222° 24′. Først regner vi bueminutterne: 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (fremgangsmåden er enkel, du dividerer 75 med tres. Resultatet angiver antallet af grader, og resten er antallet af resterende bueminutter). Nu regner vi graderne: 183° + 222° = 405°. Til dette delresultat lægger vi det forrige resultat: 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Nu trækker vi 360 fra vinklen, indtil den ligger i intervallet mellem 0 og 360. Vi trækker fra, fordi hvis vi tegner en vinkel på 360°, er vi tilbage ved begyndelsen, og en vinkel på 361° ser på papiret ud som en vinkel på 1°. Det giver følgende udregning: 406° 15′ = 46° 15′.

• Wikipedia