Paradokser i mængdelæren

Den naive mængdelære indeholder nogle interessante paradokser, som til sidst førte til udarbejdelsen af en mere detaljeret mængdelære. Disse paradokser bygger ofte på det forhold, at det i den klassiske, naive mængdelære er muligt, at en mængde indeholder sig selv som element.

Russells paradoks

Blandt de mest kendte paradokser er Russells paradoks. Det kan vi definere sådan her: lad os tage en mængde N, som indeholder netop de mængder, der ikke indeholder sig selv som element. Altså hvis en mængde indeholder sig selv som element, så tilhører den ikke mængden N. Hvis den ikke indeholder sig selv, så tilhører den mængden N.

Spørgsmålet lyder, om mængden N indeholder mængden N som element, altså sig selv?

Ved at gennemgå tilfældene finder vi, at: hvis mængden N ikke indeholder N, så er der tale om en mængde, der ikke indeholder sig selv, og den burde være i mængden N, altså burde N ∈ N gælde.

Men hvis mængden N indeholder elementet N, så burde N ∈ N ikke gælde, fordi mængden N kun indeholder de mængder, der ikke indeholder sig selv som element.

Paradokset er altså, at vi altid bryder en af betingelserne. Hvis N ∈ N, så strider det mod definitionen af mængden N (den indeholder kun mængder, der ikke indeholder sig selv, men her indeholder N åbenlyst N som element), og hvis det ikke gælder, at N ∈ N, bryder vi igen definitionen af N.

En sådan mængde kan vi altså ikke opstille, hvilket ikke burde ske i en ordentlig mængdelære.

Russells paradoks har også flere naturlige fortolkninger. For eksempel barberparadokset. I en by er der en barber, som barberer netop de personer, der ikke barberer sig selv. Spørgsmålet er, om barberen barberer sig selv?

Cantors paradoks

Et andet paradoks er Cantors. Det bygger på det forhold, at hvis vi har en mængde M, så har dens potensmængde P(M) (mængden af alle delmængder af mængden M) altid højere kardinalitet, den er større. Ved endelige mængder kan man se det med det samme, for uendelige mængder kan det let bevises. Denne påstand kaldes i øvrigt Cantors sætning.

Selve paradokset er allerede enklere end det foregående. Lad os forestille os mængden af alle mængder, og lad os kalde den M. For enhver mængde N gælder altså, at N ∈ M. Men ifølge Cantors sætning gælder, at kardinaliteten af potensmængden P(M) er større end kardinaliteten af M. Det er imidlertid i modstrid med, at M indeholder alle mængder — hvis mængden P(M) er større end M, må den nødvendigvis indeholde elementer, som mængden M ikke indeholder.