Paradoxe der Mengenlehre

Die naive Mengenlehre enthält einige interessante Paradoxe, die schließlich zur Ausarbeitung einer genaueren Mengenlehre geführt haben. Diese Paradoxe beruhen oft darauf, dass es in der klassischen, naiven Mengenlehre möglich ist, dass eine Menge sich selbst als Element enthält.

Russellsche Antinomie

Zu den bekanntesten Paradoxen gehört die russellsche Antinomie. Wir können sie so formulieren: Sei N eine Menge, die genau diejenigen Mengen enthält, die sich nicht selbst als Element enthalten. Wenn also eine Menge sich selbst als Element enthält, gehört sie nicht zur Menge N. Wenn sie sich nicht selbst enthält, gehört sie zur Menge N.

Die Frage lautet, ob die Menge N die Menge N als Element enthält, also sich selbst.

Eine Fallunterscheidung zeigt: Wenn die Menge N nicht N enthält, dann ist sie eine Menge, die sich nicht selbst enthält, und sie sollte in der Menge N liegen, es müsste also N ∈ N gelten.

Wenn die Menge N aber das Element N enthält, dann dürfte N ∈ N nicht gelten, denn die Menge N enthält nur solche Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten.

Das Paradoxe daran ist, dass wir immer eine der Bedingungen verletzen. Wenn N ∈ N gilt, widerspricht das der Definition der Menge N (sie enthält nur Mengen, die sich nicht selbst enthalten, hier enthält N aber offensichtlich N als Element), und wenn N ∈ N nicht gilt, verletzen wir wiederum die Definition von N.

Eine solche Menge können wir also nicht bilden, was uns in einer richtigen Mengenlehre eigentlich nicht passieren sollte.

Die russellsche Antinomie hat auch einige anschauliche Deutungen. Zum Beispiel das Barbier-Paradoxon. In einer Stadt gibt es einen Barbier, der genau diejenigen Leute rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Es stellt sich die Frage, ob der Barbier sich selbst rasiert.

Cantorsches Paradoxon

Ein weiteres Paradoxon stammt von Cantor. Es beruht darauf, dass für eine Menge M ihre Potenzmenge P(M) (die Menge aller Teilmengen der Menge M) immer eine höhere Mächtigkeit hat, also größer ist. Bei endlichen Mengen sieht man das auf den ersten Blick, bei unendlichen Mengen lässt es sich leicht beweisen. Diese Aussage heißt übrigens Satz von Cantor, und seine genaue Formulierung samt Beweis findest du auf Wikipedia.

Das Paradoxon selbst ist einfacher als das vorige. Stellen wir uns die Menge aller Mengen vor und bezeichnen wir sie mit M. Für jede beliebige Menge N gilt also N ∈ M. Nach dem Satz von Cantor ist aber die Mächtigkeit der Potenzmenge P(M) größer als die Mächtigkeit von M. Das ist ein Widerspruch dazu, dass M alle Mengen enthält – wenn die Menge P(M) größer ist als M, muss sie zwangsläufig Elemente enthalten, die die Menge M nicht enthält.