Paradoxurile teoriei mulțimilor

Teoria naivă a mulțimilor conține câteva paradoxuri interesante, care au dus în cele din urmă la elaborarea unei teorii a mulțimilor mai riguroase. Aceste paradoxuri se bazează adesea pe faptul că, în teoria clasică, naivă, a mulțimilor, o mulțime se poate conține pe ea însăși ca element.

Paradoxul lui Russell

Printre cele mai cunoscute paradoxuri se numără paradoxul lui Russell. Îl putem defini astfel: fie mulțimea N, care conține exact acele mulțimi care nu se conțin pe ele însele ca element. Deci, dacă o mulțime se conține pe ea însăși ca element, atunci nu aparține mulțimii N. Dacă nu se conține pe ea însăși, atunci aparține mulțimii N.

Întrebarea este: o conține mulțimea N ca element pe mulțimea N, adică pe ea însăși?

Analizând cazurile, aflăm că: dacă mulțimea N nu conține N, atunci este o mulțime care nu se conține pe ea însăși și ar trebui să se afle în mulțimea N, adică ar trebui să avem N ∈ N.

Dar dacă mulțimea N conține elementul N, atunci nu ar trebui să avem N ∈ N, pentru că mulțimea N conține doar mulțimile care nu se conțin pe ele însele ca element.

Paradoxul constă deci în faptul că încălcăm mereu una dintre condiții. Dacă N ∈ N, contrazicem definiția mulțimii N (ea conține doar mulțimi care nu se conțin pe ele însele, iar aici N evident îl conține pe N ca element), iar dacă nu are loc N ∈ N, încălcăm din nou definiția lui N.

O asemenea mulțime nu poate fi deci construită, ceea ce într-o teorie a mulțimilor corectă nu ar trebui să se întâmple.

Paradoxul lui Russell are și câteva interpretări firești. De exemplu, paradoxul bărbierului. Într-un oraș există un bărbier care bărbierește exact oamenii care nu se bărbieresc singuri. Se pune întrebarea: se bărbierește bărbierul singur?

Paradoxul lui Cantor

Un alt paradox este cel al lui Cantor. El se bazează pe faptul că, dacă avem o mulțime M, atunci mulțimea părților sale $\mathcal{P}(M)$ (mulțimea tuturor submulțimilor mulțimii M) are întotdeauna un cardinal mai mare, este mai mare. La mulțimile finite se vede imediat, iar pentru mulțimile infinite se poate demonstra ușor. Această afirmație se numește de altfel teorema lui Cantor, iar enunțul ei exact și demonstrația le găsești pe Wikipedia.

Paradoxul propriu-zis este mai simplu decât cel precedent. Să ne imaginăm mulțimea tuturor mulțimilor, notată M. Deci, pentru orice mulțime N avem N ∈ M. Dar, conform teoremei lui Cantor, cardinalul mulțimii părților $\mathcal{P}(M)$ este mai mare decât cardinalul lui M. Aceasta contrazice faptul că M conține toate mulțimile – dacă mulțimea $\mathcal{P}(M)$ este mai mare decât M, trebuie neapărat să conțină elemente pe care mulțimea M nu le conține.