Paradokser i mengdelæren

Den naive mengdelæren inneholder noen interessante paradokser som til slutt førte til utviklingen av en mer detaljert mengdelære. Disse paradoksene bygger ofte på at en mengde i den klassiske, naive mengdelæren kan inneholde seg selv som element.

Russells paradoks

Blant de mest kjente paradoksene er Russells paradoks. Vi kan formulere det slik: La N være mengden som inneholder nøyaktig de mengdene som ikke inneholder seg selv som element. Altså: hvis en mengde inneholder seg selv som element, hører den ikke til mengden N. Hvis den ikke inneholder seg selv, hører den til mengden N.

Spørsmålet er om mengden N inneholder mengden N som element, altså seg selv?

Ved å gå gjennom tilfellene finner vi: Hvis mengden N ikke inneholder N, er den en mengde som ikke inneholder seg selv, og da burde den ligge i mengden N, altså burde N ∈ N gjelde.

Men hvis mengden N inneholder elementet N, burde ikke N ∈ N gjelde, for mengden N inneholder bare de mengdene som ikke inneholder seg selv som element.

Paradokset er altså at vi alltid bryter en av betingelsene. Hvis N ∈ N, strider det mot definisjonen av mengden N (den inneholder bare mengder som ikke inneholder seg selv, men her inneholder N åpenbart N som element), og hvis det ikke gjelder at N ∈ N, bryter vi igjen definisjonen av N.

En slik mengde kan vi derfor ikke konstruere, og det burde ikke skje i en god mengdelære.

Russells paradoks har også flere naturlige tolkninger. For eksempel barberparadokset. I en by finnes det en barber som barberer nøyaktig de personene som ikke barberer seg selv. Da melder spørsmålet seg: barberer barberen seg selv?

Cantors paradoks

Et annet paradoks er Cantors. Det bygger på at hvis vi har en mengde M, har potensmengden P(M) (mengden av alle delmengder av M) alltid høyere kardinalitet, den er større. For endelige mengder ser man det med en gang, og for uendelige mengder kan det bevises enkelt. Denne påstanden kalles for øvrig Cantors teorem, og den nøyaktige formuleringen og beviset finner du på Wikipedia.

Selve paradokset er enklere enn det forrige. La oss tenke oss mengden av alle mengder, og kalle den M. For enhver mengde N gjelder altså N ∈ M. Men ifølge Cantors teorem er mektigheten til potensmengden P(M) større enn mektigheten til M. Det er i strid med at M inneholder alle mengder — hvis mengden P(M) er større enn M, må den nødvendigvis inneholde elementer som mengden M ikke inneholder.