Paradoxos da teoria dos conjuntos

A teoria ingênua dos conjuntos contém alguns paradoxos interessantes, que acabaram levando à elaboração de uma teoria dos conjuntos mais detalhada. Esses paradoxos muitas vezes se apoiam no fato de que, na teoria clássica, ingênua, dos conjuntos, é possível que um conjunto contenha a si mesmo como elemento.

Paradoxo de Russell

Entre os paradoxos mais conhecidos está o paradoxo de Russell. Podemos defini-lo assim: considere o conjunto N, que contém exatamente os conjuntos que não contêm a si mesmos como elemento. Ou seja, se um conjunto contém a si mesmo como elemento, então ele não pertence ao conjunto N. Se não contém a si mesmo, então pertence ao conjunto N.

A pergunta é: o conjunto N contém como elemento o conjunto N, isto é, a si mesmo?

Analisando os casos, descobrimos que: se o conjunto N não contém N, então é um conjunto que não contém a si mesmo e deveria estar no conjunto N, ou seja, deveria valer N ∈ N.

Mas, se o conjunto N contém o elemento N, então não deveria valer N ∈ N, porque o conjunto N contém apenas os conjuntos que não contêm a si mesmos como elemento.

O paradoxo está em que sempre violamos alguma das condições. Se N ∈ N, isso contradiz a definição do conjunto N (ele contém apenas conjuntos que não contêm a si mesmos, e aqui evidentemente N contém N como elemento) e, se não vale N ∈ N, violamos novamente a definição de N.

Não podemos, portanto, construir esse conjunto, o que não deveria acontecer em uma teoria dos conjuntos correta.

O paradoxo de Russell também tem algumas interpretações cotidianas. Por exemplo, o paradoxo do barbeiro. Em uma cidade há um barbeiro que faz a barba exatamente das pessoas que não fazem a própria barba. Surge a pergunta: o barbeiro faz a própria barba?

Paradoxo de Cantor

Outro paradoxo é o de Cantor. Ele se apoia no fato de que, se temos um conjunto M, então o seu conjunto das partes P(M) (o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto M) sempre tem cardinalidade maior, é maior. Em conjuntos finitos isso se vê à primeira vista; para conjuntos infinitos, é fácil de demonstrar. Aliás, essa afirmação se chama teorema de Cantor, e o seu enunciado exato e a demonstração você encontra na Wikipédia.

O paradoxo em si já é mais simples que o anterior. Imagine o conjunto de todos os conjuntos, que vamos chamar de M. Ou seja, para qualquer conjunto N vale N ∈ M. Mas, pelo teorema de Cantor, a cardinalidade do conjunto das partes P(M) é maior que a cardinalidade de M. Isso contradiz o fato de que M contém todos os conjuntos — se o conjunto P(M) é maior que M, ele necessariamente contém elementos que o conjunto M não contém.