Mängdlärans paradoxer

Den naiva mängdläran innehåller några intressanta paradoxer som till slut ledde till att en mer noggrann mängdlära utarbetades. Paradoxerna bygger ofta på att det i den klassiska, naiva mängdläran är möjligt för en mängd att innehålla sig själv som element.

Russells paradox

Bland de mest kända paradoxerna finns Russells paradox. Den kan definieras så här: låt N vara en mängd som innehåller precis de mängder som inte innehåller sig själva som element. Om en mängd innehåller sig själv som element tillhör den alltså inte mängden N. Om den inte innehåller sig själv tillhör den mängden N.

Frågan är om mängden N innehåller mängden N som element, det vill säga sig själv?

Genom en fallanalys får vi: om mängden N inte innehåller N är den en mängd som inte innehåller sig själv och borde alltså finnas i mängden N, det vill säga det borde gälla N ∈ N.

Men om mängden N innehåller elementet N borde inte N ∈ N gälla, eftersom mängden N bara innehåller de mängder som inte innehåller sig själva som element.

Paradoxen består alltså i att vi alltid bryter mot något av villkoren. Om N ∈ N strider det mot definitionen av mängden N (den innehåller bara mängder som inte innehåller sig själva, och här innehåller uppenbarligen N elementet N), och om det inte gäller att N ∈ N bryter vi återigen mot definitionen av N.

En sådan mängd kan vi alltså inte bilda, vilket inte borde hända i en riktig mängdlära.

Russells paradox har också flera naturliga tolkningar. Ett exempel är barberarparadoxen. I en stad finns en barberare som rakar precis de människor som inte rakar sig själva. Då väcks frågan: rakar barberaren sig själv?

Cantors paradox

En annan paradox är Cantors. Den bygger på att om vi har en mängd M så har dess potensmängd P(M) (mängden av alla delmängder till mängden M) alltid högre kardinalitet, den är större. För ändliga mängder syns det direkt, och för oändliga mängder är det lätt att bevisa. Påståendet kallas för övrigt Cantors sats, och dess exakta formulering och bevis hittar du på Wikipedia.

Själva paradoxen är enklare än den förra. Tänk dig mängden av alla mängder, som vi kallar M. För varje mängd N gäller alltså N ∈ M. Men enligt Cantors sats är kardinaliteten hos potensmängden P(M) större än kardinaliteten hos M. Det är en motsägelse mot att M innehåller alla mängder: om mängden P(M) är större än M måste den nödvändigtvis innehålla element som mängden M inte innehåller.