Joukko-opin paradoksit

Naiivissa joukko-opissa on joitakin mielenkiintoisia paradokseja, jotka lopulta johtivat tarkemman joukko-opin kehittämiseen. Nämä paradoksit nojaavat usein siihen, että klassisessa, naiivissa joukko-opissa joukko voi sisältää itsensä alkionaan.

Russellin paradoksi

Tunnetuimpiin paradokseihin kuuluu Russellin paradoksi. Sen voi määritellä näin: olkoon joukko N, jossa on täsmälleen ne joukot, jotka eivät sisällä itseään alkionaan. Jos siis joukko sisältää itsensä alkionaan, se ei kuulu joukkoon N. Jos se ei sisällä itseään, se kuuluu joukkoon N.

Kysymys kuuluu: sisältääkö joukko N alkionaan joukon N eli itsensä?

Tapauksia tarkastelemalla havaitsemme: jos joukko N ei sisällä joukkoa N, kyseessä on joukko, joka ei sisällä itseään ja jonka pitäisi olla joukossa N, eli pitäisi päteä N ∈ N.

Jos taas joukko N sisältää alkion N, ei pitäisi päteä N ∈ N, koska joukossa N on vain ne joukot, jotka eivät sisällä itseään alkionaan.

Paradoksi on siinä, että rikomme aina jonkin ehdon. Jos N ∈ N, se on ristiriidassa joukon N määritelmän kanssa (siinä on vain joukkoja, jotka eivät sisällä itseään, ja tässä selvästi N sisältää alkionaan joukon N), ja jos N ∈ N ei päde, rikomme jälleen joukon N määritelmää.

Tällaista joukkoa ei siis voi muodostaa, mitä ei pitäisi tapahtua kunnollisessa joukko-opissa.

Russellin paradoksilla on myös useita arkisia tulkintoja. Esimerkiksi parturin paradoksi. Kaupungissa on parturi, joka ajaa parran täsmälleen niiltä ihmisiltä, jotka eivät aja partaansa itse. Herää kysymys: ajaako parturi oman partansa?

Cantorin paradoksi

Toinen paradoksi on Cantorin paradoksi. Se nojaa siihen, että jos meillä on joukko M, sen potenssijoukolla P(M) (joukon M kaikkien osajoukkojen joukko) on aina suurempi kardinaliteetti, se on suurempi. Äärellisillä joukoilla sen näkee ensi silmäyksellä, äärettömille joukoille sen voi todistaa helposti. Tätä väitettä kutsutaan muuten Cantorin lauseeksi, ja sen tarkan muotoilun ja todistuksen löydät Wikipediasta.

Itse paradoksi on edellistä yksinkertaisempi. Kuvitellaan kaikkien joukkojen joukko, merkitään sitä M. Silloin mille tahansa joukolle N pätee N ∈ M. Cantorin lauseen mukaan potenssijoukon P(M) mahtavuus on kuitenkin suurempi kuin joukon M mahtavuus. Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että M sisältää kaikki joukot – jos joukko P(M) on suurempi kuin M, siinä täytyy välttämättä olla alkioita, joita joukossa M ei ole.