Παράδοξα της θεωρίας συνόλων

Η αφελής θεωρία συνόλων περιέχει μερικά ενδιαφέροντα παράδοξα, που τελικά οδήγησαν στην ανάπτυξη μιας πιο αναλυτικής θεωρίας συνόλων. Τα παράδοξα αυτά στηρίζονται συχνά στο γεγονός ότι στην κλασική, αφελή, θεωρία συνόλων είναι δυνατό ένα σύνολο να περιέχει τον εαυτό του ως στοιχείο.

Το παράδοξο του Russell

Ανάμεσα στα πιο γνωστά παράδοξα είναι το παράδοξο του Russell. Μπορούμε να το ορίσουμε ως εξής: έστω ένα σύνολο N που περιέχει ακριβώς τα σύνολα που δεν περιέχουν τον εαυτό τους ως στοιχείο. Δηλαδή αν ένα σύνολο περιέχει τον εαυτό του ως στοιχείο, τότε δεν ανήκει στο σύνολο N. Αν δεν περιέχει τον εαυτό του, τότε ανήκει στο σύνολο N.

Το ερώτημα είναι: περιέχει το σύνολο N ως στοιχείο του το σύνολο N, δηλαδή τον εαυτό του;

Αν εξετάσουμε τις περιπτώσεις, βρίσκουμε ότι: αν το σύνολο N δεν περιέχει το N, τότε πρόκειται για σύνολο που δεν περιέχει τον εαυτό του και θα έπρεπε να είναι στο σύνολο N, δηλαδή θα έπρεπε να ισχύει N ∈ N.

Αν όμως το σύνολο N περιέχει το στοιχείο N, τότε δεν θα έπρεπε να ισχύει N ∈ N, επειδή το σύνολο N περιέχει μόνο τα σύνολα που δεν περιέχουν τον εαυτό τους ως στοιχείο.

Το παράδοξο συνίσταται λοιπόν στο ότι πάντα παραβιάζουμε κάποια από τις συνθήκες. Αν N ∈ N, αυτό αντιφάσκει με τον ορισμό του συνόλου N (περιέχει μόνο σύνολα που δεν περιέχουν τον εαυτό τους, εδώ όμως το N προφανώς περιέχει το N ως στοιχείο του) και αν δεν ισχύει N ∈ N, πάλι παραβιάζουμε τον ορισμό του N.

Ένα τέτοιο σύνολο δεν μπορούμε λοιπόν να το κατασκευάσουμε, κάτι που σε μια σωστή θεωρία συνόλων δεν θα έπρεπε να συμβαίνει.

Το παράδοξο του Russell έχει και μερικές φυσικές ερμηνείες. Για παράδειγμα το παράδοξο του κουρέα. Σε μια πόλη υπάρχει ένας κουρέας που ξυρίζει ακριβώς τους ανθρώπους που δεν ξυρίζουν τον εαυτό τους. Προκύπτει το ερώτημα: ξυρίζει ο κουρέας τον εαυτό του;

Το παράδοξο του Cantor

Ένα ακόμα παράδοξο είναι το παράδοξο του Cantor. Στηρίζεται στο γεγονός ότι αν έχουμε ένα σύνολο M, τότε το δυναμοσύνολό του P(M) (το σύνολο όλων των υποσυνόλων του συνόλου M) έχει πάντα μεγαλύτερο πληθάριθμο, είναι μεγαλύτερο. Στα πεπερασμένα σύνολα αυτό φαίνεται με την πρώτη ματιά, για τα άπειρα σύνολα μπορεί να αποδειχθεί εύκολα. Αυτός ο ισχυρισμός ονομάζεται άλλωστε θεώρημα του Cantor και την ακριβή διατύπωση και την απόδειξή του θα βρεις στη Wikipedia.

Το ίδιο το παράδοξο είναι πιο απλό από το προηγούμενο. Φαντάσου το σύνολο όλων των συνόλων, ας το ονομάσουμε M. Δηλαδή για οποιοδήποτε σύνολο N ισχύει N ∈ M. Σύμφωνα όμως με το θεώρημα του Cantor, ο πληθάριθμος του δυναμοσυνόλου P(M) είναι μεγαλύτερος από τον πληθάριθμο του M. Αυτό όμως είναι αντίφαση με το ότι το M περιέχει όλα τα σύνολα – αν το σύνολο P(M) είναι μεγαλύτερο από το M, πρέπει αναγκαστικά να περιέχει στοιχεία που το σύνολο M δεν περιέχει.