Paradojas de la teoría de conjuntos

La teoría ingenua de conjuntos contiene algunas paradojas interesantes que acabaron llevando a elaborar una teoría de conjuntos más detallada. Estas paradojas se apoyan a menudo en el hecho de que, en la teoría ingenua y clásica de conjuntos, un conjunto puede contenerse a sí mismo como elemento.

Paradoja de Russell

Entre las paradojas más conocidas está la paradoja de Russell. Podemos formularla así: sea N el conjunto que contiene justamente los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elemento. Es decir, si un conjunto se contiene a sí mismo como elemento, entonces no pertenece al conjunto N. Si no se contiene a sí mismo, entonces sí pertenece al conjunto N.

La pregunta es: ¿el conjunto N contiene como elemento al conjunto N, es decir, a sí mismo?

Analizando los casos averiguamos que: si el conjunto N no contiene a N, entonces se trata de un conjunto que no se contiene a sí mismo y debería estar en el conjunto N, es decir, debería cumplirse N ∈ N.

Pero si el conjunto N contiene el elemento N, entonces no debería cumplirse N ∈ N, porque el conjunto N contiene solo los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elemento.

La paradoja está, pues, en que siempre incumplimos alguna de las condiciones. Si N ∈ N, esto contradice la definición del conjunto N (contiene solo conjuntos que no se contienen a sí mismos, y aquí es evidente que N contiene a N como elemento) y si no se cumple N ∈ N, volvemos a incumplir la definición de N.

No podemos, por tanto, construir un conjunto así, algo que en una teoría de conjuntos correcta no debería ocurrir.

La paradoja de Russell tiene también varias interpretaciones cotidianas. Por ejemplo, la paradoja del barbero. En un pueblo hay un barbero que afeita justamente a las personas que no se afeitan a sí mismas. Surge la pregunta: ¿el barbero se afeita a sí mismo?

Paradoja de Cantor

Otra paradoja es la de Cantor. Se apoya en el hecho de que, si tenemos un conjunto M, su conjunto potencia $\mathcal{P}(M)$ (el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto M) tiene siempre mayor cardinalidad, es mayor. En los conjuntos finitos se ve a primera vista; para los conjuntos infinitos se puede demostrar fácilmente. Esta afirmación se llama, por cierto, teorema de Cantor, y su enunciado exacto y su demostración los encontrarás en Wikipedia.

La paradoja en sí es más sencilla que la anterior. Imaginemos el conjunto de todos los conjuntos y llamémoslo M. Es decir, para cualquier conjunto N se cumple que N ∈ M. Pero, según el teorema de Cantor, el cardinal del conjunto potencia $\mathcal{P}(M)$ es mayor que el cardinal de M. Esto contradice que M contenga todos los conjuntos —si el conjunto $\mathcal{P}(M)$ es mayor que M, necesariamente contiene elementos que el conjunto M no contiene—.