Paradoxes de la théorie des ensembles

La théorie naïve des ensembles contient quelques paradoxes intéressants, qui ont fini par conduire à l’élaboration d’une théorie des ensembles plus rigoureuse. Ces paradoxes reposent souvent sur le fait que, dans la théorie naïve classique des ensembles, un ensemble peut se contenir lui-même comme élément.

Paradoxe de Russell

Parmi les paradoxes les plus connus figure le paradoxe de Russell. On peut l’énoncer ainsi : considérons l’ensemble N qui contient exactement les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme élément. Autrement dit, si un ensemble se contient lui-même comme élément, il n’appartient pas à l’ensemble N. S’il ne se contient pas lui-même, il appartient à l’ensemble N.

La question est : l’ensemble N contient-il comme élément l’ensemble N, donc lui-même ?

En examinant les cas, nous trouvons : si l’ensemble N ne contient pas N, c’est un ensemble qui ne se contient pas lui-même et il devrait donc être dans l’ensemble N, c’est-à-dire qu’on devrait avoir N ∈ N.

Mais si l’ensemble N contient l’élément N, on ne devrait pas avoir N ∈ N, car l’ensemble N ne contient que les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme élément.

Le paradoxe est donc que nous violons toujours l’une des conditions. Si N ∈ N, cela contredit la définition de l’ensemble N (il ne contient que des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes, or ici N contient visiblement N comme élément), et s’il est faux que N ∈ N, nous violons de nouveau la définition de N.

On ne peut donc pas construire un tel ensemble, ce qui ne devrait pas nous arriver dans une théorie des ensembles correcte.

Le paradoxe de Russell a aussi plusieurs interprétations naturelles. Par exemple le paradoxe du barbier. Dans une ville, il y a un barbier qui rase exactement les gens qui ne se rasent pas eux-mêmes. La question qui se pose : le barbier se rase-t-il lui-même ?

Paradoxe de Cantor

Un autre paradoxe est celui de Cantor. Il repose sur le fait que, si nous avons un ensemble M, son ensemble des parties $\mathcal{P}(M)$ (l’ensemble de tous les sous-ensembles de M) a toujours un cardinal plus grand : il est plus grand. Pour les ensembles finis, cela se voit au premier coup d’œil ; pour les ensembles infinis, on peut le démontrer facilement. Cet énoncé s’appelle d’ailleurs le théorème de Cantor, et tu en trouveras l’énoncé exact et la démonstration sur Wikipédia.

Le paradoxe lui-même est plus simple que le précédent. Imaginons l’ensemble de tous les ensembles, notons-le M. Pour n’importe quel ensemble N, on a donc N ∈ M. Mais, d’après le théorème de Cantor, le cardinal de l’ensemble des parties $\mathcal{P}(M)$ est plus grand que celui de M. C’est en contradiction avec le fait que M contient tous les ensembles : si l’ensemble $\mathcal{P}(M)$ est plus grand que M, il doit nécessairement contenir des éléments que l’ensemble M ne contient pas.