Foreningsmængde, fællesmængde, mængdedifferens og komplementærmængde

Mellem mængder kan vi udføre forskellige mængdeoperationer. De mest grundlæggende er foreningsmængde, fællesmængde, mængdedifferens og komplementærmængde.

Foreningsmængde

Foreningsmængden betegner vi med symbolet ∪, så foreningsmængden af mængderne A og B skriver vi klassisk: A ∪ B. Foreningsmængden af mængderne A og B er en ny mængde, som indeholder alle elementer fra mængden A og også alle elementer fra mængden B. Definition:

$$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$$

Et eksempel: Lad os tage to mængder A = {1, 3, 5, 7} og B = {2, 4, 6}. Foreningsmængden bliver mængden: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Den resulterende mængde indeholder elementerne fra begge mængder.

Et andet eksempel: A = {1, 2, 3} og B = {2, 3, 4}. Som foreningsmængde får vi: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Elementerne 2 og 3 er ikke med to gange i den resulterende mængde, for en mængde indeholder ikke det samme element flere gange.

Andre egenskaber:

• A ∪ A = A: hvis vi tager foreningsmængden af to ens mængder, får vi igen den samme mængde.
• A ∪ B = B ∪ A: foreningsmængden er kommutativ, rækkefølgen er ligegyldig.
• A ∪ ∅ = A: den tomme mængde indeholder ikke noget element, så der er ikke noget at forene.

Fællesmængde

Fællesmængden af to mængder A og B er en ny mængde, som indeholder de elementer, som de to mængder har til fælles. Mere præcist kan vi sige, at den nye mængde indeholder de elementer, der tilhører A og samtidig tilhører B. Fællesmængden betegner vi med symbolet ∩. Definition:

$$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$$

Eksempel: A = {1, 3, 5, 7, 9} og B = {4, 5, 6, 7}. Fællesmængden er A ∩ B = {5, 7}. Et andet eksempel: A = {a, b, c, d, e} og B = {f, g, h, i, j}. Fællesmængden er: A ∩ B = ∅. Disse mængder har ikke noget fælles element, så fællesmængden er den tomme mængde.

Andre egenskaber:

• A ∩ A = A: fællesmængden af to ens mængder er igen den samme mængde.
• A ∩ B = B ∩ A: fællesmængden er kommutativ, rækkefølgen er ligegyldig.
• A ∩ ∅ = ∅: den tomme mængde indeholder ikke noget element, så den har helt sikkert ikke noget element til fælles med mængden A.

Mængdedifferens

Mængdedifferensen skriver vi med det almindelige minustegn − eller bedre med et skråt minus ∖. Ved mængdedifferensen af to mængder A og B forstår vi en mængde, som indeholder alle elementer fra A og samtidig ikke indeholder noget element fra B. Du kigger blot på, hvilke elementer den første mængde har til fælles med den anden, og dem fjerner du. Definition:

$$A\setminus B=\{x\in A\mid x\notin B\}$$

Eksempel: A = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {4, 5, 6, 7, 8}. Mængdedifferensen bliver så A ∖ B = {1, 2, 3}. Det er de elementer, som er tilbage, når vi fjerner alle elementer, der er i mængden B, fra mængden A. Et andet eksempel: A = {a, b, d, e}. Differensen A ∖ A = ∅.

Andre egenskaber:

• A ∖ A = ∅: ligesom når vi trækker to ens tal fra hinanden, får vi nul (fx 5 − 5 = 0), får vi den tomme mængde, når vi trækker to ens mængder fra hinanden.
• A ∖ ∅ = A: den tomme mængde indeholder ikke noget element, så vi kan ikke fjerne noget element fra mængden A.

Komplementærmængde

Komplementærmængden til mængden A betegnes på mange måder, men sandsynligvis oftest med en apostrof A' eller en overstregning: $\bar{A}$. For enkelhedens skyld vil jeg bruge overstregningen. For at beregne komplementærmængden til mængden A skal vi vide, i hvilken mængde vi beregner komplementærmængden. Komplementærmængden udgør nemlig alle de elementer, som ikke er i mængden A, så den er en slags modsætning til mængden A.

Hvis vi har grundmængden M = {1, 2, 3, …, 9, 10}, så er komplementærmængden til mængden A = {2, 4, 6, 8, 10} i M mængden $\bar{A}=\{1,3,5,7,9\}$. Den indeholder alle elementer fra M, som ikke er i A. Vi kan sige, at $\bar{A}$ i M er lig med M ∖ A.

Hvis vi tager de hele tal som grundmængde, så er komplementærmængden til mængden af lige tal de ulige tal. Komplementærmængden til mængden A = {1, 2, 3, 4} bliver mængden $\bar{A}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,5,6,7,\dots \}$.

For komplementærmængden gælder, at når vi anvender den to gange, får vi den oprindelige mængde tilbage. For eksempel på de hele tal: komplementærmængden til de lige tal er de ulige tal. Og komplementærmængden til de ulige tal er igen de lige tal. Der gælder altså $A=\overline{\stackrel{―}{A}}$ (komplementærmængden til komplementærmængden til A).