Lige og ulige funktioner

Ved funktioner kan vi bestemme deres paritet, altså vi kan bestemme, om en funktion er lige eller ulige. I yderste tilfælde kan den være både lige og ulige, men som regel er den hverken lige eller ulige.

Lige funktioner

En funktion er lige, hvis den opfylder en simpel regel — når du putter et element x i funktionen og derefter det modsatte element −x, så skal funktionen returnere den samme resulterende værdi. En typisk lige funktion er funktionen f(x) = x². Hvis du kalder den med argumenterne 6 og −6, får du: f(6) = 36 og f(−6) = 36. Argumentet var kun forskelligt i fortegnet, resultatet er derfor det samme.

En formel definition kunne se sådan ud. Hvis funktionen f er lige, så skal den opfylde

$$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dm}(f):f(x)=f(-x)$$

For alle x i funktionens definitionsmængde skal det gælde, at også når vi kalder funktionen med det modsatte argument, dvs. −x, så skal funktionsværdierne være lige store.

Hvordan viser en lige funktion sig i grafen? Hvis vi putter x og −x i funktionen, får vi det samme y. Så når vi tænker over det: x og −x ligger på x-aksen lige langt fra origo og har den samme y-koordinat. Det betyder, at grafen for en lige funktion er symmetrisk om y-aksen. Til illustration grafen for funktionen x²:

Blandt de klassiske funktioner er følgende lige: cosinus, funktioner på formen f(x) = x^a, hvor a er et lige tal. Af en oprindelig ulige funktion gør den numeriske værdi en lige funktion, for eksempel f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Ulige funktioner

En ulige funktion skal opfylde lignende regler som en lige funktion. Funktionen f er altså ulige, hvis den opfylder denne regel:

$$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dm}(f):f(-x)=-f(x)$$

I praksis betyder det, at hvis et punkt (a, b) tilhører en ulige funktion, så skal også punktet med de modsatte koordinater, altså (−a, −b), tilhøre den. Et eksempel på en ulige funktion er funktionen f(x) = x³. Hvis vi indsætter to for x, får vi:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

I det andet udtryk ville vi få

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Hvordan viser det sig i grafen? Hvis punktet (a, b) skal tilhøre funktionen og samtidig (−a, −b)? Når du tegner det, finder du ud af, at sådan en graf vil være symmetrisk om koordinatsystemets origo, dvs. punktet (0, 0). Grafen for funktionen f(x) = x³ er vist på den følgende figur.

Blandt de klassiske funktioner er følgende ulige: f(x) = x^a, hvor a er ulige, f(x) = ax, hvor a er et vilkårligt reelt tal (der er altså tale om en lineær funktion uden begyndelsesværdi). Desuden endnu f(x) = a/x eller sinus.

Kontrol af, om en funktion er lige

Hvordan kontrollerer vi, om en funktion er lige? Vi skal gøre det efter definitionen. Så for eksempel den velkendte funktion f(x) = x². Vi kontrollerer efter definitionen. Den fortæller os, at f(x) = f(−x). Hvis funktionen er lige, skal den opfylde:

$$x^2=(-x{)}^2$$

Minus x i anden kan vi efter reglerne for regning med potenser skrive ud sådan her:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Minus en i anden er en, så vi får bare x² tilbage.

$$x^2=1\cdot x^2$$

Er den følgende funktion lige?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Vi indsætter i definitionen:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Disse brøker kan vi omarrangere sådan, at vi i stedet for at have den numeriske værdi af hele brøken flytter den ind i tæller og nævner.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Vi omskriver nævneren i den anden brøk, fordi det med sikkerhed gælder, at |x| = |−x|, ifølge definitionen af numerisk værdi.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Nu får vi lighed.

Kontrol af, om en funktion er ulige

Hvordan kontrollerer vi, om en funktion er ulige? Vi skal igen gøre det efter definitionen. Den siger, at funktionen f er ulige, hvis

$$f(-x)=-f(x)$$

Lad os starte med funktionen f(x) = x³. Vi indsætter i definitionen:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

Den venstre side kan vi skrive ud på samme måde som i det foregående eksempel:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Minus en i tredje er minus en:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Så har vi lighed:

$$-x^3=-x^3$$

Funktionen er ulige.

Er den givne funktion ulige?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Vi indsætter i definitionen:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Der er ikke meget at omskrive her, minustegnet i den første brøk sætter vi simpelthen uden for hele brøken, så vi får lighed:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Funktionen er ulige.

Hverken lige eller ulige

En funktion behøver hverken at være lige eller ulige. Sådan er de fleste funktioner nok. Et eksempel er den lineære funktion f(x) = x + 1. Vi prøver at sætte ind i definitionen for lige funktioner:

$$x+1=-x+1$$

Vi isolerer x:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

Ligheden gælder ikke for alle x, men kun for nogle, så funktionen er ikke lige. Nu ulige:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Denne ligning har endda aldrig nogen løsning, derfor er funktionen ikke ulige.

Både lige og ulige

Findes der en funktion, som er både lige og ulige på samme tid? Findes der en graf for en funktion, som er symmetrisk både om y-aksen og om origo? Svaret er ja. Der findes præcis én funktion, som er både lige og ulige på samme tid, og det er den konstante funktion f(x) = 0. Funktionens graf følger nøjagtigt x-aksen.

Bemærkning: I virkeligheden findes der uendeligt mange sådanne funktioner, fordi vi kan definere en funktion g(x), som har den samme forskrift, bare defineret på en anden definitionsmængde. For eksempel kan vi have funktionen g(x) = 0, som har de naturlige tal som definitionsmængde. Denne funktion adskiller sig fra funktionen f(x), som er defineret over de reelle tal. Forskriften vil dog altid være den samme.

Sammensatte funktioner

Der opstår en interessant situation, hvis vi har to funktioner, som er ulige eller lige, og vi forsøger at lægge dem sammen, gange dem osv. For eksempel giver addition af to lige funktioner igen en lige funktion.