Hvad er en funktion

En funktion er et helt grundlæggende begreb i matematik, som du bør forstå til fulde. Matematikken er gennemvævet af funktioner, og mange symboler, du kender fra folkeskolen, er i virkeligheden en funktion.

Analogi til en funktion

Har du nogensinde set en kaffeautomat? Hvad er typisk for sådan en automat? At du putter nogle mønter i automaten, og automaten spytter noget kaffe ud. Hvis du smider flere mønter i automaten, svarer den med bedre kaffe.

En funktion er sådan en matematisk kaffeautomat. Du putter et input (mønter) i funktionen, og funktionen returnerer et output (kaffe). Det er hele det grundlæggende princip i en funktion.

Funktionens opgave er at modtage et input, et tal, gøre noget med tallet indeni, ændre det og derefter returnere det nye tal som output.

Grundlæggende begreber

Hver funktion har et navn, som betegner den. Det mest almindelige navn for en funktion er bogstavet »f«. Til funktionen har vi brug for en forskrift, der bestemmer, hvordan funktionen skal arbejde — hvordan automaten skal brygge kaffen. Til at begynde med kan vi forestille os en funktion som en tabel med to kolonner. I den første kolonne står vores input (i automaten ville det være mønternes værdi) og i den anden funktionens output (kaffen).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Vi ser, at outputtet altid er dobbelt så stort som inputtet, men det behøver slet ikke at være reglen. Vi kunne også have sådan en tabel:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Men til at begynde med er den første, regelmæssige tabel nok. Vi kan sige, at denne tabel definerer en funktion f. Hvad gør funktionen? Vi putter et input i funktionen, funktionen slår inputtet op i tabellens første kolonne og returnerer outputtet fra samme række. Hvis vi leder efter funktionens output for tallet tre, ville vi skrive det sådan:

$$f(3)=6$$

Vi fandt rækken, hvor inputtet er lig med tre, og i samme række var outputtet lig med seks. Videre ville der gælde f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 og f(5) = 10. Det kan godt se overskueligt ud at skrive alle funktioner som tabeller, når der er nogle få tal, men hvis vi arbejder med flere tal, er det ekstremt upraktisk. Derfor har vi brug for en anden skrivemåde. Vi kan angive funktionen med en funktionsforskrift. I vores tabel gjaldt, at outputtet er dobbelt så stort som inputtet. Det kunne vi skrive med en funktionsforskrift sådan:

$$f(x)=2\cdot x$$

Det er en simpel lineær funktion, men det er lige meget lige nu. Hvad fortæller dette udtryk os? Bogstavet f er funktionens navn, det ved vi allerede. Udtrykket i parentesen, altså bogstavet x, betegner funktionens parameter. I analogien med automaten ville det svare til begrebet »værdien af de indkastede mønter«. Funktionens parameter er en variabel, som den værdi, vi giver videre, bliver gemt i. Hvis vi puttede tyve kroner i automaten (funktionen), ville der i funktionen gælde, at x = 20. Og derefter arbejder automaten eller funktionen videre med den værdi på sin egen måde.

Derefter kommer lighedstegnet, og efter lighedstegnet står selve forskriften, som angiver, hvad der skal gøres med den givne værdi x. Vi ser, at funktionen ganger den værdi x, den får, med to. Det er det hele.

Flere eksempler på funktioner

På denne højre side kan der stå stort set ethvert matematisk udtryk. Der kan også stå andre funktioner, og der kan stå betingelser, som præciserer definitionen. Vi kunne for eksempel definere en funktion med ord sådan her: »hvis inputtet er et lige tal, returner nul, hvis inputtet er et ulige tal, returner et«. Det bliver en funktion, der kun returnerer et og nul, men en funktion er det.

Det vigtige er at forstå, at en funktion kan defineres næsten hvordan som helst. Selvfølgelig har også en funktion sine regler, men de er ikke så vigtige lige nu — en af reglerne er desuden nævnt i næste afsnit. En funktionsdefinition behøver ikke give mening ved første øjekast, den behøver ikke have nogen orden. En funktion kan sagtens altid returnere den dobbelte værdi, undtagen når inputtet er syv. Så returnerer den ni. Det er nok ret meningsløst, men også det er en funktion.

Også en stor del af de operationer, vi udfører uden for matematikken, kan vi kalde funktioner. Hvis du for eksempel tæller længden af ordet »zebra«, kan vi sige, at du har kaldt en funktion ved navn »ordets længde« og givet den ordet »zebra« som argument. Funktionen talte bogstaverne i ordet og returnerede tallet fem.

Har du brug for at beregne, hvor meget du skal betale i renters rente på et lån eller et boliglån? Også det kan en funktion klare. Du definerer simpelthen en funktion, der beregner størrelsen af renten for eksempel efter ti år. Har du brug for at finde ud af, hvor mange kilometer bilen kan køre endnu på et bestemt antal liter benzin? Definér en funktion! Hvis bilen i gennemsnit kører for eksempel 11 kilometer på en liter benzin, kan vi definere funktionen, der beregner, hvor langt vi kan køre endnu, sådan her:

$$\text{afstand}(x)=11\cdot x$$

Hvis vi kun har 17 liter benzin tilbage, beregner vi afstanden ved at kalde funktionen sådan her:

$$\text{afstand}(17)=11\cdot 17=187$$

En funktion er kort sagt alt, der returnerer et tal for et givet input. Returner luftlinjen fra Aalborg til en given by, returner længden af den længste sang på et givet album, returner antallet af hår på hovedet af en given person, returner antallet af ben på et givet dyr osv.

Funktionens grundlæggende egenskab

En overordentlig vigtig betingelse for en funktion er — hvis vi vender tilbage til tabellen — at ingen værdi i den første kolonne med input gentages to gange. Hvis tabellen så sådan ud:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… så ville vi ikke kunne sige, hvad funktionen skal returnere, hvis vi putter en i den:

$$f(1)=?$$

Funktionen skal være entydigt defineret, det kan ikke ske, at den for det samme input kan returnere to forskellige resultater. Det går simpelthen ikke. Vi kræver af en funktion, at den med det samme input altid også returnerer det samme output. Pas på, at dette krav ikke gælder for den anden kolonne, outputtet. Outputtene må sagtens være ens, det gør os ikke noget. Denne tabel ville være gyldig:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Beregning af en funktion

Nu ved vi, hvad de enkelte dele af en funktion hedder, og nogenlunde hvordan man definerer en funktion. Nu forklarer vi trin for trin, hvordan en funktion beregnes. Vi har altså funktionen f(x) = 2x. Hvad sker der, når vi putter tre i funktionen? Når vi vil putte tre i funktionen, betyder det for os, at vi indsætter tallet tre for funktionens parameter. Funktionens argument er tre, og vi indsætter derfor tre for alle x:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Vi ser allerede, at funktionen spytter seks ud, ligesom tabellen for et øjeblik siden. Den var dog begrænset til kun fem tal, vores nye definition kan klare flere tal:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Denne fremgangsmåde, hvor vi indsætter konkrete værdier for variablen x, kalder vi beregning af funktionen eller kald af funktionen, eventuelt anvendelse af funktionen. Hvis vi derfor siger, at vi »kalder funktionen f med argumentet 5«, vil vi beregne værdien f(5), som i vores tilfælde bliver f(5) = 2 · 5 = 10.

To begreber mere at huske. Det, som vi kalder funktionen med (det, vi indsætter for x), kaldes funktionens argument. Det kan virke lidt forvirrende, men hvis vi har funktionen f(x) og kalder den med værdien tre f(3), så er x funktionens parameter og 3 funktionens argument. Argumentet er selve den værdi, vi kalder funktionen med. Parameteren er den oprindelige variabel, som funktionen er defineret med. Det er snarere en teknisk detalje.

Et andet begreb er funktionsværdi, hvilket er den værdi, som funktionen returnerer som output. Den foregående funktion returnerede tallet seks, da vi kaldte den med tallet tre. Tallet seks er derfor i dette tilfælde funktionsværdien. Med en hel sætning ville vi sige »funktionen f har i punktet tre funktionsværdien seks«. Med ordet »punkt« menes i denne sammenhæng som regel funktionens argument.

Funktioner i almindelig matematik

I almindelig matematik forekommer en masse funktioner, som har en helt speciel skrivemåde, så det slet ikke ser ud, som om det er funktioner. For eksempel er numerisk værdi ikke andet end en funktion. Den tager et tal som input og returnerer som output enten det samme tal eller tallet med modsat fortegn.

Du genkender sikkert symbolet for kvadratrod: $\sqrt{}$. Det er igen en funktion. Den tager et argument som input og returnerer kvadratroden som output. På samme måde er også anden potens x² en funktion. Den tager et tal som input og returnerer tallets anden potens.

Det er ret vigtigt at gøre sig klart, at de fleste af den slags magiske symboler i virkeligheden ikke er noget mere kompliceret end en helt almindelig funktion. Se ikke på symbolet $\sqrt{}$ som en mærkelig bøjet figur, se på symbolet som en funktion.

Især for en begynder kan et udtryk med en masse matematiske symboler være forvirrende. Den stakkels begynder aner ikke, hvad han skal stille op med halvdelen af dem, og alligevel er der blot tale om nogle få sammensatte funktioner. Lad os tage dette eksempel til hjælp:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Når en matematisk lægmand ser på det, kradser han sig i hovedet og har ikke meget idé om, hvad han skal gøre med det. Alligevel indeholder udtrykket i alt fire ret simple funktioner, der anvendes efter hinanden på variablen x. Det kunne skrives ud med navngivne og indlejrede funktioner sådan her:

$$\text{fakultet}(\text{kvadratrod}(\text{abs}(\text{kvadrat}(x))))$$

Skrivemåden er længere, men for en, der ikke kender symbolerne, nok mere overskuelig. Samtidig er rækkefølgen, som funktionerne kaldes i, også helt tydelig.

Opsummering af skrivemåden for funktioner

En funktion har et navn, som i princippet kan være hvad som helst. Oftest kaldes en generel funktion f. Hver funktion har et givet antal parametre, som vi skriver i runde parenteser efter navnet. Hvis vores funktion f havde to parametre, ville vi skrive det sådan her: f(x, y) eller f(a, b). Navnene på parametrene er generelt ligegyldige.

Nogle ofte brugte funktioner har deres eget symbol, for eksempel har kvadratroden symbolet $\sqrt{}$. Desuden er sin eller sin(x) funktionen sinus, |x| er funktionen numerisk værdi og x! er funktionen fakultet.

Hvis en funktion har én parameter, udelader vi nogle gange parenteserne, hvilket nogle gange kan gøre skrivemåden mere overskuelig og andre gange ikke. Så sin(x) og sin x er begge gyldige skrivemåder for funktionen sinus.

Når man taler om funktionens parameter, taler man om bogstavet x i skrivemåden f(x). Argumentet er så den værdi, som vi kalder funktionen med, som vi indsætter for x. Ofte flyder disse to begreber sammen. Funktionsværdien er den værdi, vi får, efter vi har kaldt funktionen. Vi skriver den simpelthen som funktionens navn, parenteser og argumentet. Hvis vi har funktionen f(x) = 2x og indsætter argumentet x = 4 for parameteren x, så siger vi, at vi har kaldt funktionen med argumentet x = 4, og den resulterende funktionsværdi f(4) er lig med otte.