Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Innenwinkel, also einen Winkel von 90 Grad. Dieses Dreieck hat einige interessante Eigenschaften, von denen in diesem Artikel die Rede sein wird.

Grundlegende Beschreibung

Das rechtwinklige Dreieck wurde bereits teilweise im Hauptartikel über Dreiecke beschrieben. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Innenwinkel von 90 Grad. Die beiden übrigen Innenwinkel müssen notwendigerweise kleiner als 90 Grad sein, denn sonst wäre die Summe der Innenwinkel nicht gleich 180 Grad. Es gilt sogar, dass die Summe der beiden übrigen Winkel genau 90 Grad beträgt.

Ein rechtwinkliges Dreieck hat natürlich drei Seiten. Zwei davon heißen Katheten (rote Seiten), das sind die kürzeren Seiten, und die dritte Seite heißt Hypotenuse (blaue Seite) – das ist die längste Seite. Die Hypotenuse liegt immer dem Eckpunkt gegenüber, an dem der rechte Winkel liegt.

Satz des Pythagoras

Der wohl berühmteste mathematische Satz überhaupt, der Satz des Pythagoras, gilt genau im rechtwinkligen Dreieck. Der Satz des Pythagoras beschäftigt sich mit den Seitenlängen des Dreiecks. Der Satz besagt: „Der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten.“ Mathematisch aufgeschrieben für unser Dreieck, in dem die Seite a die Hypotenuse ist:

$$a^2=b^2+c^2$$

Der Satz des Pythagoras in der Abbildung, diesmal in der üblichen Bezeichnung mit der Hypotenuse c: Dem Satz ist ein eigener Artikel gewidmet.

Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks

Im rechtwinkligen Dreieck lässt sich der Flächeninhalt sehr einfach berechnen, weil die Höhen mit den Katheten zusammenfallen. Stell dir das rechtwinklige Dreieck aus der ersten Abbildung vor. Wie würden wir seinen Flächeninhalt berechnen, ohne irgendwelche Höhen zu kennen? Wir können das Dreieck so ergänzen, dass ein Rechteck entsteht. Die Seiten des Rechtecks bilden die Katheten des Dreiecks, und die beiden übrigen Seiten ergänzen wir so, dass tatsächlich ein Rechteck entsteht: Den Flächeninhalt eines Rechtecks können wir schon berechnen, es ist das Produkt der Längen zweier benachbarter Seiten, in unserem Fall das Produkt der roten Seiten AC und AB. Damit erhalten wir den Flächeninhalt des Rechtecks. Die Hypotenuse BC bildet jedoch die Diagonale des Rechtecks, die das Rechteck halbiert. Wenn wir also den Flächeninhalt des Rechtecks durch zwei teilen, erhalten wir den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks. Die Formel sieht also so aus:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

wobei b und c die Längen der Katheten sind.

Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus

Im rechtwinkligen Dreieck gelten die grundlegenden Winkelfunktionen und ihre Beziehungen. Die Winkelfunktionen wie Sinus, Kosinus (auch Cosinus geschrieben), Tangens und Kotangens (Cotangens) drücken das Verhältnis zwischen den einzelnen Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck aus. Nehmen wir noch einmal das erste Dreieck zu Hilfe, diesmal mit hervorgehobenen Winkeln.

Wenn wir das Verhältnis der Längen zweier Seiten bestimmen wollen, nehmen wir beide Längen und teilen sie in der angegebenen Reihenfolge. Das Verhältnis der Seitenlängen b:c (gesprochen „b zu c“) erhalten wir zum Beispiel, indem wir 3/5 berechnen (die Seite b hat die Länge 3, die Seite c die Länge 5).

Die Sinusfunktion arbeitet dann mit dem Verhältnis zweier Seiten und einem Winkel. Bezogen auf unsere Abbildung gilt: Wenn wir das Verhältnis der Seiten b:a nehmen, erhalten wir den Wert der Sinusfunktion für den Winkel β. Der Kosinus funktioniert ähnlich, nur für das Verhältnis c:a und denselben Winkel β. Es gilt also:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Die Funktionen Sinus und Kosinus arbeiten im rechtwinkligen Dreieck immer nur mit den Winkeln, die kleiner als 90 Grad sind. In diesem Fall mit den Winkeln β und γ. In diesem Bereich liefern uns Sinus und Kosinus immer eine Zahl im Intervall ]0; 1[. Daher kannst du dir die Regel merken, dass du immer die kürzere Seite durch die längere teilst – damit du genau eine Zahl aus dem Intervall ]0; 1[ erhältst.

Beide Funktionen arbeiten außerdem mit einer Kathete und der Hypotenuse, es handelt sich nie um zwei Katheten gleichzeitig. Weil du immer die kürzere durch die längere Seite teilst, steht die Hypotenuse immer im Nenner des Bruchs. Wenn du dir die Formeln über diesem Absatz ansiehst, steht im Nenner immer a, die Hypotenuse des Dreiecks.

Die letzte Regel lautet, dass der Sinus mit der Gegenkathete arbeitet, der Kosinus dagegen mit der Ankathete. Was bedeutet das? Wenn wir den Winkel β haben, dann ist die Ankathete diejenige Kathete, die vom Punkt B ausgeht, die Kathete c. Die Gegenkathete ist die andere Kathete, die Kathete b. Deshalb steht in der Formel beim Sinus die Seite b und beim Kosinus die Seite c.

Zusammenfassung: Der Sinus liefert das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, der Kosinus das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. Wie können wir das nutzen? Wenn du die Winkel im Dreieck und die Länge der Hypotenuse oder einer Kathete kennst, kannst du die Längen der übrigen Seiten berechnen. Beispiel:

Für das vorherige Dreieck gilt:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Wie lang ist die Seite a? Wir wissen, dass gilt:

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

Den Wert des Sinus kennen wir, die Länge der Seite b kennen wir auch, gesucht ist die Länge der Seite a. Wir lösen mithilfe von Äquivalenzumformungen nach a auf:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(Zuerst haben wir die Gleichung mit a multipliziert und dann durch den Sinus geteilt.) Auf der rechten Seite stehen jetzt lauter bekannte Werte, also setzen wir ein. Den Wert des Sinus berechnen wir mit dem Taschenrechner.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Die Seite a hat die Länge 5,83. Wenn du den Sinus mit dem Taschenrechner berechnest, achte darauf, dass der Modus für Grad eingeschaltet ist. Oft liegt das Problem nämlich darin, dass du mit Radiant rechnest, das ist ein anderes Winkelmaß. Es gilt aber die Umrechnungsformel:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

wobei deg dein Wert in Grad ist.

Die Winkelfunktionen Tangens und Kotangens

Im rechtwinkligen Dreieck lassen sich auch diese beiden Funktionen einfach anwenden. Wieder gilt, dass wir immer mit Winkeln kleiner als 90 Grad arbeiten. Im Unterschied zu Sinus und Kosinus arbeiten diese Funktionen aber nicht mit der Hypotenuse des Dreiecks, sondern nur mit den Katheten. Es gilt, dass der Tangens eines Winkels gleich dem Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete ist und der Kotangens gleich dem Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete.

Bezogen auf das vorherige Dreieck gilt also:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Versuchen wir, im vorherigen Dreieck die Länge der Seite AC (Seite b) mithilfe des Winkels β zu berechnen. Seine Größe kennen wir aus dem vorherigen Beispiel. Wir wissen, dass gilt:

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

Wir lösen nach der Seite b auf:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(Wir haben die Gleichung nur mit c multipliziert und die Seiten vertauscht.) Jetzt kennen wir alles, was wir zur Berechnung der Länge der Seite b brauchen. Wir setzen ein:

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Schon an der Abbildung sehen wir, dass wir die richtige Lösung erhalten haben. Achte nur wieder darauf, dass in der Formel beim Tangens der Wert in Grad steht, während der Taschenrechner den Winkel möglicherweise im Bogenmaß verlangt.

Zur Veranschaulichung können wir dieselbe Seite auch mit dem Kotangens berechnen:

$$\begin{array}{rcl}\cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \cot (\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\cot (\beta )}\end{array}$$

Wir setzen die Werte ein:

$$b=\frac{5}{\cot (30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Wieder haben wir das richtige Ergebnis erhalten.