Bruchrechnung: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Brüchen

Mit einem Bruch können wir jede rationale Zahl schreiben. Ein Bruch besteht aus zwei Teilen. Der obere Teil heißt Zähler und der untere Nenner. Es gibt auch einen Doppelbruch, das ist nichts anderes als ein Bruch, der im Zähler oder im Nenner einen weiteren Bruch hat. Und übrigens werden alle Zeichen zwischen Brüchen (Plus, Minus, Gleichheitszeichen usw.) grundsätzlich auf der Höhe des Bruchstrichs geschrieben, nicht auf der Höhe des Zählers und nicht auf der Höhe des Nenners. Und überhaupt, weißt du, dass fünf von vier Menschen Probleme mit Brüchen haben?

Grundlegende Informationen

Ein Bruch hat die folgende Form:

$\frac{Zähler}{Nenner}$

Ein Beispiel für einen Bruch ist der Bruch

$\frac{2}{5},$

also zwei Fünftel. Der Nenner heißt Nenner, weil er den Bruch benennt. Fünftel, Drittel, Sechstel … das ist der Hauptname des Bruchs und er leitet sich von der Zahl ab, die unter dem Bruchstrich steht. Der Zähler dagegen gibt die Anzahl an, im vorigen Beispiel waren es zwei Fünftel. So viel zu den Bezeichnungen.

Im Zähler und im Nenner kann im Grunde jede Zahl oder wieder ein Bruch stehen, am häufigsten begegnen wir aber einem Bruch, bei dem Zähler und Nenner natürliche Zahlen sind.

Ein Bruch ist nur eine andere Schreibweise der Division, den Wert des Bruchs berechnen wir, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen. Wenn wir also allgemein einen Bruch $\frac{a}{b}$ haben, dann ist der Wert des Bruchs die Zahl a/b. Der vorige Bruch (zwei Fünftel) hätte dann den Wert 2/5, das ist 0,4.

Umwandlung in den vollständig gekürzten Bruch

Mit Brüchen können wir auf verschiedene Weise arbeiten und ihre Form ändern – sie erweitern und kürzen –, wobei sich der Wert des Bruchs nicht ändert. Das kann man sich auch leicht in Worten vorstellen, zum Beispiel hat ein Halb denselben Wert wie zwei Viertel oder vier Achtel. Das kommt daher, dass ein Bruch nur eine verkleidete Division ist. Und zur Zahl ein Halb können wir durch Teilen mehrerer verschiedener Zahlen gelangen. Vier geteilt durch acht ist also ein Halb. Zehn geteilt durch zwanzig ist auch ein Halb. Deshalb haben die Brüche

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \dots = \frac{10}{20} = \dots$

denselben Wert.

Wie man sieht, sind wir zu weiteren Brüchen mit demselben Wert gekommen, indem wir im ursprünglichen Bruch 1/2 sowohl den Zähler als auch den Nenner mit zwei multipliziert haben. Nach dem Multiplizieren ergab sich der Bruch 2/4, zwei Viertel. Wenn wir auch bei diesem Bruch Zähler und Nenner mit zwei multiplizieren, erhalten wir den Bruch 4/8, vier Achtel. In diesem Moment haben wir den Bruch erweitert.

Die umgekehrte Operation zum Erweitern ist das Kürzen von Brüchen, bei dem wir Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen. Wenn wir einen Bruch kürzen wollen, müssen wir eine Zahl finden, durch die sich sowohl der Zähler als auch der Nenner ohne Rest teilen lässt. Das Kürzen von Brüchen wird in der Praxis sehr oft verwendet, denn durch das Kürzen wird ein Bruch deutlich einfacher und lässt sich besser handhaben. Hätten wir den Bruch 12/18, stellen wir mit einem flüchtigen Blick fest, dass beide Zahlen gerade und damit durch zwei teilbar sind. Natürlich könnten wir den Bruch mit zwei kürzen, aber schon auf den zweiten Blick erkennen wir, dass Zähler und Nenner auch durch sechs teilbar sind. Wenn wir den Bruch mit sechs kürzen, entsteht ein einfacherer Bruch, als wenn wir nur mit zwei kürzen würden. Deshalb kürzen wir den Bruch mit sechs. Es ergibt sich der Bruch 2/3.

Dieser Bruch lässt sich nicht weiter kürzen, es gibt keine Zahl (größer als eins), durch die wir sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilen könnten. Von einem Bruch, der sich nicht weiter kürzen lässt, sagen wir, dass er vollständig gekürzt ist. Versuche, immer mit vollständig gekürzten Brüchen zu arbeiten. Wenn du irgendwo mit Brüchen arbeitest, schau zuerst nach, ob sich manche Brüche kürzen lassen. Du sparst dir Zeit. Noch ein Beispiel:

$\frac{24}{42}$

Durch welche Zahl sind 24 und 42 gleichzeitig teilbar? Beide sind gerade Zahlen, also bestimmt durch zwei. Wir teilen Zähler und Nenner durch zwei:

$\frac{24}{42} = \frac{12}{21}$

Gibt es eine Zahl, die beide Zahlen gleichzeitig teilt? Ja, diesmal die Drei.

$\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

Gibt es immer noch eine Zahl, die Zähler und Nenner teilt? Nein, der Bruch ist vollständig gekürzt.

Multiplikation von Brüchen

Du wirst vielleicht staunen, aber Multiplikation und Division sind bei Brüchen einfacher als Addition und Subtraktion. Wenn du zwei Brüche multiplizieren sollst, multiplizierst du einfach den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner mit dem Nenner. Das ist alles. Ein Beispiel für die Multiplikation von Brüchen:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$

Bei der Multiplikation von Brüchen gibt es außerdem eine weitere Möglichkeit zu kürzen. Du musst nicht nur innerhalb eines Bruchs kürzen, sondern kannst über Kreuz kürzen. Wenn sich der Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs kürzen lässt, kannst du das tun und dir die Multiplikation vereinfachen. Beispiel (die gekürzten Zahlen sind hervorgehoben):

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{10}$

Was haben wir gemacht? Die Vier und die Acht haben wir durch vier geteilt. Der Wert des Produkts blieb unverändert. Hätten wir nicht schon jetzt gekürzt, hätten wir erst nach dem Multiplizieren kürzen können.

Die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl führst du dann einfach auf die Multiplikation zweier Brüche zurück, indem du die ganze Zahl c als c/1 schreibst:

$\frac{3}{7} \cdot 5 = \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{1} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 1} = \frac{15}{7}$

Wie man sieht, genügt es, wenn du einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizierst, den Zähler des Bruchs mit dieser Zahl zu multiplizieren.

$c \cdot \frac{a}{b} = \frac{a c}{b}$

Division von Brüchen

Die Division von Brüchen ist praktisch dasselbe wie die Multiplikation. Wenn du einen Bruch durch einen anderen teilen willst, kehrst du den zweiten Bruch (den Divisor) um und multiplizierst die Brüche ganz normal. Ein einfaches Beispiel für die Division von Brüchen (beachte, dass wir nach dem Umkehren des Bruchs 12 und 6 kürzen können):

$\frac{12}{7} : \frac{6}{11} = \frac{12}{7} \cdot \frac{11}{6} = \frac{2}{7} \cdot \frac{11}{1} = \frac{22}{7}$

Die Division haben wir auf die Multiplikation zurückgeführt, indem wir den Bruch $\frac{6}{11}$ zum Bruch $\frac{11}{6}$ umgedreht und mit dem anderen, unveränderten Bruch multipliziert haben. Warum funktioniert das so? Stell es dir einfach an einem einfacheren Beispiel vor, zum Beispiel an der Division durch ein Halb. Wenn wir

$\frac{10}{1 / 2} = ?,$

berechnen, was tun wir da eigentlich? Wir stellen fest, wie oft ein Halb in zehn passt. In jede Einheit passt ein Halb genau zweimal (zweimal ein Halb ist eins), also passt es in zehn zwanzigmal. Zum selben Ergebnis kommen wir, wenn wir zwei mal zehn multiplizieren – auch zwanzig. Und welchen Wert erhalten wir, wenn wir ein Halb umdrehen? Zwei Eintel, das ist zwei.

$\frac{1}{2} \to \frac{2}{1} = 2$

Insgesamt haben wir also:

$\frac{10}{1 / 2} = 10 \cdot \frac{2}{1} = 10 \cdot 2 = 20.$

Addition von Brüchen

Das Addieren von Brüchen ist schon etwas komplizierter. Brüche können wir nämlich nur dann addieren, wenn sie gleichnamig sind, also denselben Nenner haben. Haben die Brüche nicht denselben Nenner, müssen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Danach gehen wir einfach wie bei der Multiplikation vor, wir addieren den Zähler des ersten Bruchs und den Zähler des zweiten Bruchs. Im Gegensatz zur Multiplikation behalten wir aber denselben Nenner bei. Zuerst ein Beispiel für die Addition von Brüchen mit gleichem Nenner:

$\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Ergibt das einen Sinn? Ein Halb plus fünf Halbe ist gleich sechs Halbe – das ergibt ziemlich viel Sinn.

Haben die Brüche nicht denselben Nenner, was der häufigere Fall ist, müssen wir die Brüche auf denselben Nenner bringen, was bedeutet, einen Bruch oder beide so zu erweitern, dass wir denselben Nenner erhalten. Wir wollen diese beiden Brüche addieren:

$\frac{2}{3} + \frac{5}{2} = ?$

Der erste Bruch hat im Nenner die Drei, der zweite die Zwei. In diesem Moment können wir sie kaum addieren, aber wenn wir den ersten Bruch mit zwei erweitern, hat er im Nenner die Sechs, und wenn wir den zweiten Bruch mit drei erweitern, hat er im Nenner ebenfalls die Sechs. Jetzt haben beide Brüche bereits denselben Nenner und wir können sie einfach addieren. Im ersten Schritt erweitern wir die Brüche also so, dass sie denselben Nenner haben:

$\frac{2}{3} + \frac{5}{2} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} + \frac{15}{6}$

Und jetzt addieren wir nur noch die Zähler und lassen den Nenner gleich:

$\frac{4}{6} + \frac{15}{6} = \frac{19}{6}$

Beachte, dass wir bei der Addition nicht über die Brüche hinweg kürzen können wie bei der Multiplikation. Nach der Umformung hatten wir zum Beispiel im Nenner des ersten Bruchs die Sechs und im Zähler des zweiten Bruchs die Fünfzehn. Trotzdem können wir nicht mit drei kürzen:

$\frac{4}{6} + \frac{15}{6} \neq \frac{4}{2} + \frac{5}{6}$

Dieses Kürzen dürften wir uns nur erlauben, wenn wir diese Brüche multiplizieren würden:

$\frac{4}{6} \cdot \frac{15}{6} = \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{6}$

Wie bringt man allgemein zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner? Den ersten Bruch erweitern wir mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten Bruch erweitern wir mit dem Nenner des ersten Bruchs. Allgemein können wir das so schreiben:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d}{b d} + \frac{b c}{b d}$

Den ersten Bruch haben wir mit dem Term d erweitert, das ist der Nenner des zweiten Bruchs. Den zweiten Bruch haben wir mit dem Term b erweitert, das ist der Nenner des ersten Bruchs. Ein konkretes Beispiel:

$\frac{7}{4} + \frac{9}{8} = \frac{7 \cdot 8}{4 \cdot 8} + \frac{9 \cdot 4}{8 \cdot 4}$

Den ersten Bruch haben wir mit acht erweitert, den zweiten Bruch mit vier. Danach können wir die Brüche schon addieren.

Die allgemeine Formel für die Addition von Brüchen sähe dann so aus:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$

Subtraktion von Brüchen

Die Subtraktion von Brüchen läuft genauso ab wie die Addition von Brüchen, nur dass wir die resultierenden Zähler nicht addieren, sondern subtrahieren. Die vorige allgemeine Formel für die Addition ändern wir also so:

$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a d - b c}{b d}$

Ein konkretes Beispiel; zuerst bringen wir auf den gemeinsamen Nenner:

$\frac{7}{9} - \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{35}{45} - \frac{18}{45}$

Und jetzt subtrahieren wir nur noch die Zähler und lassen den Nenner gleich:

$\frac{35}{45} - \frac{18}{45} = \frac{35 - 18}{45} = \frac{17}{45}$

Überkreuzmultiplikation

Bei Gleichungen können wir die Überkreuzmultiplikation verwenden, die die Gleichheit zweier Brüche vereinfacht. Praktisch handelt es sich um nichts anderes als um zwei Äquivalenzumformungen der gegebenen Gleichung. Nehmen wir also eine Gleichung mit zwei Brüchen

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} .$

Diese Gleichung können wir so umformen, dass wir sie mit dem Nenner des ersten und dann auch des zweiten Bruchs multiplizieren. Zuerst multiplizieren wir die Gleichung mit dem Nenner des ersten Bruchs, also mit dem Term b. Wir erhalten

$\frac{a b}{b} = \frac{b c}{d} .$

Dann multiplizieren wir die Gleichung mit dem Term d und erhalten

$\frac{a b d}{b} = \frac{b c d}{d} .$

Im ersten Bruch kürzen wir b und im zweiten d. Das Ergebnis ist die Gleichung

$a d = b c .$

Das können wir also als Formel betrachten: Haben wir eine Gleichung in Form zweier Brüche, können wir sie wie folgt umformen:

$\begin{array}{rcl} \frac{a}{b} & = & \frac{c}{d} \to \\ a d & = & b c \end{array}$

Es folgt ein Beispiel. Im ersten Schritt schreiben wir die Brüche nach der vorigen Formel aus und im zweiten Schritt formen wir nur noch leicht die Terme auf beiden Seiten um.

$\begin{array}{rcl} \frac{x + 2}{x} & = & \frac{3 x}{x + 2} \\ (x + 2) (x + 2) & = & x \cdot 3 x \\ (x + 2)^{2} & = & 3 x^{2} \end{array}$

Weiter würde die Gleichung wie eine klassische quadratische Gleichung berechnet, aber das liegt außerhalb dieses Artikels.