Eigenschaften von Funktionen

Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jeder Zahl x aus der Definitionsmenge M genau ein y aus der Wertemenge N zuordnet. Eine Funktion schreiben wir üblicherweise in der Form y = f(x), oder wir können sie explizit ausdrücken f: y = x, wobei die Variable x das Argument der Funktion ist.

Definitionsmenge und Wertemenge

Bei jeder Funktion müssen wir auch ihre Definitionsmenge bestimmen, das ist die Menge aller zulässigen Werte des Arguments x, also alle Werte, die die Variable x annehmen kann. Die Definitionsmenge der Funktion f bezeichnen wir mit D_f.

Ein einfaches Beispiel: f: y = x, hier ist die Definitionsmenge die ganze Menge der reellen Zahlen D_f = ℝ. Ein anderes Beispiel: $f : y = \frac{1}{x}$ , in diesem Fall ist die Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen, diesmal aber ohne die Null, denn du kannst nicht durch null dividieren, der Term würde dann keinen Sinn ergeben D_f = ℝ ∖ {0}.

Die Wertemenge ist dann analog die Menge aller zulässigen y, also die Menge aller Elemente, auf die die Funktion f zeigen kann. Wieder ein einfaches Beispiel: Nehmen wir die Funktion f: y = x. Hier ist die Wertemenge die Menge ℝ, denn y kann jeden beliebigen Wert aus dieser Menge erreichen. Nehmen wir aber eine weitere Funktion f: y = |x| (Betrag). Hier ist die Wertemenge gleich dem Intervall [0; +∞[, denn es kann nie passieren, dass y zum Beispiel gleich minus fünf ist, weil das nach der Definition des Betrags nicht möglich ist.

Wenn wir beim Begriff der Abbildung aus der Menge A in die Menge B bleiben, dann sei gesagt, dass die Menge A die Definitionsmenge ist und die Menge B die Menge ist, in die die Funktion abbildet; die Wertemenge ist deren Teilmenge.

Monotonie einer Funktion

Die Monotonie einer Funktion ist eine Eigenschaft, die angibt, ob die Funktion auf einem gegebenen Intervall streng monoton steigend, streng monoton fallend, monoton fallend, monoton steigend, konstant oder nichts davon ist.

Diese Eigenschaft lässt sich am besten am Graphen ablesen: Hast du das Gefühl, dass der Graph fällt, handelt es sich um eine streng monoton fallende Funktion, steigt die Funktion, ist es eine streng monoton steigende Funktion. Ganz einfach :-). Die Definitionen sähen so aus: Gegeben sei eine Funktion f, und seien x₁, x₂ ∈ D_f. Dann sagen wir, dass

die Funktion f streng monoton steigend ist, wenn aus x₁ < x₂ folgt f(x₁) < f(x₂).
die Funktion f streng monoton fallend ist, wenn aus x₁ < x₂ folgt f(x₁) > f(x₂). (Die Definition sieht gleich aus, aber im ersten Fall steht bei den Funktionswerten < und im zweiten >)

Sieh dir den Graphen der streng monoton steigenden Funktion f(x) = ln(x) an:

$Graph der streng monoton steigenden Funktion f(x) = \ln(x)$

Wir sehen, dass, wenn wir x₁, x₂ so wählen, dass x₁ < x₂ gilt, auch f(x₁) < f(x₂) gilt. Jetzt sieh dir einen weiteren Graphen an, diesmal von der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ , die zum Beispiel auf dem Intervall ]0; +∞[ streng monoton fallend ist:

$Graph der Funktion f(x)=\frac{1}{x}$

Hier sehen wir, dass für x₁ < x₂ für ihre Funktionswerte umgekehrt f(x₁) > f(x₂) gilt. Obwohl x₁ kleiner ist als x₂, „erzeugt“ es einen größeren Funktionswert.

Noch die übrigen Definitionen:

Die Funktion f ist monoton steigend, wenn aus x₁ < x₂ folgt f(x₁) ≤ f(x₂). (Die Definition ist ähnlich wie bei der streng monoton steigenden Funktion, wir lassen nur zu, dass die Funktion auf einem bestimmten Abschnitt einen konstanten Wert hat)
Die Funktion f ist monoton fallend, wenn aus x₁ < x₂ folgt f(x₁) ≥ f(x₂).
Die Funktion f ist konstant, wenn die Wertemenge eine einelementige Menge ist, also wenn für beliebige zwei x₁, x₂ gilt, dass f(x₁) = f(x₂).

Ein Beispiel für eine monoton fallende Funktion ist die Funktion f(x) = |x|−x:

Graph der Funktion f(x) = |x|-x

Beachte, dass die Funktion auf dem Intervall ]−∞; 0[ fällt, auf dem restlichen Intervall aber einen konstanten Funktionswert (null) hat. Auf der ganzen Definitionsmenge handelt es sich also um eine monoton fallende Funktion.

Gerade und ungerade Funktion

Manche Funktionen können unter gewissen Bedingungen gerade oder ungerade sein. Am einfachsten ist es, den Graphen der Funktion zu kennen, dort lässt es sich am schnellsten erkennen. Eine gerade Funktion ist nämlich achsensymmetrisch zur y-Achse, während eine ungerade Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung (0 ∣ 0) ist. Ein Beispiel für eine gerade Funktion kann y = x² sein, und eine ungerade Funktion ist zum Beispiel die Funktion y = 2x. Die Definitionen sähen so aus – die Funktion f ist

gerade, wenn für alle x ∈ D_f gilt, dass f(x) = f(−x),
ungerade, wenn für alle x ∈ D_f gilt, dass −f(x) = f(−x).

Gerade Funktion x^2 und ungerade Funktion 2x

Von geraden und ungeraden Funktionen handelt ein eigener Artikel, Gerade und ungerade Funktion.

Injektive Funktion

Eine injektive (umkehrbare) Funktion erkennen wir daran, dass alle ihre Funktionswerte verschieden sind, kein Funktionswert wiederholt sich. Definition:

Die Funktion f ist injektiv, wenn für alle x₁, x₂ ∈ D_f gilt, dass

$x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2})$

Wenn wir zwei verschiedene x aus der Definitionsmenge der Funktion wählen, müssen ihre Funktionswerte immer verschieden sein.

Grafisch lässt sich das wie immer ganz einfach erkennen. Wenn du eine Gerade parallel zur x-Achse durch den Graphen legst, muss sie den Graphen höchstens in einem Punkt schneiden. Ein Beispiel für eine injektive Funktion ist die lineare Funktion y = 3x. Egal welche Gerade du nimmst, sie schneidet den Graphen immer in genau einem Punkt. Das Gegenteil ist zum Beispiel die Sinusfunktion, deren Graph aus lauter Wellen besteht. Legst du also eine Gerade parallel zur x-Achse, die die y-Achse im Punkt $\frac{1}{2}$ schneidet, findest du unendlich viele Schnittpunkte mit dem Graphen, also ist sie nicht injektiv.

Graph der Funktion 3x, jede Gerade parallel zur x-Achse schneidet den Graphen in genau einem Punkt

$Graph der Funktion \sin x, die Gerade y=\frac12 schneidet den Graphen in unendlich vielen Punkten$

Beschränkte Funktion

Funktionen können beschränkt sein, und zwar nach oben beschränkt, nach unten beschränkt oder sowohl nach oben als auch nach unten – eine solche Funktion nennen wir einfach beschränkte Funktion. Die Funktion f ist nach oben beschränkt, wenn wir eine reelle Zahl A finden, die größer ist als alle Funktionswerte der Funktion f. Analog für eine nach unten beschränkte Funktion. Die Definitionen also:

Die Funktion f ist nach oben beschränkt, wenn es ein A ∈ ℝ gibt, sodass für alle x ∈ D_f gilt, dass A > f(x).
Die Funktion f ist nach unten beschränkt, wenn es ein A ∈ ℝ gibt, sodass für alle x ∈ D_f gilt, dass A < f(x).

Grafisch können wir es uns so vorstellen, dass wir eine Gerade parallel zur x-Achse (d. h. eine waagerechte Gerade) suchen, die über oder unter dem ganzen Graphen der Funktion liegt.

Graph der Funktion f(x)=x^4 und der Geraden y=-1, die ganz unter dem Graphen liegt

Im Bild haben wir den Graphen der Funktion f(x) = x⁴, die nach unten beschränkt ist. Beachte, dass wir gar kein A finden müssen, das dem Graphen am „nächsten“ liegt, es genügt, die Gerade irgendwo unter dem Graphen zu platzieren.

Minimum und Maximum

Die Funktion f hat an der Stelle M der Definitionsmenge ein Maximum, wenn an dieser Stelle M der höchste Funktionswert von allen Funktionswerten liegt, die die Funktion hat. Analog für das Minimum. Definitionen:

Die Funktion f hat an der Stelle M ∈ D_f ein globales Maximum, wenn für alle x ∈ D_f gilt f(x) ≤ f(M) – kurz, dass der Funktionswert an der Stelle M am höchsten ist. Wenn es nur ein einziges Maximum gibt, nennen wir es strenges Maximum.
Die Funktion f hat an der Stelle m ∈ D_f ein globales Minimum, wenn für alle x ∈ D_f gilt f(x) ≥ f(m) – der Funktionswert ist an der Stelle m am kleinsten.

Am Graphen findest du Maximum und Minimum der Funktion wohl ziemlich leicht, du schaust einfach, wo die Funktion am tiefsten oder am höchsten liegt. Eine Funktion muss aber natürlich weder Minimum noch Maximum haben, oder sie kann nur ein Minimum oder nur ein Maximum haben, ebenso kann eine Funktion nur lokale Extrema haben, auf der ganzen Definitionsmenge aber kein Extremum.

Graph der Funktion f(x)=x^2+2, die an der Stelle m=0 ein Minimum hat

Wenn du Minima und Maxima finden musst, verwende die Ableitung, das genaue Vorgehen ist im Artikel Kurvendiskussion beschrieben.

Beispiel

Bestimme die Eigenschaften der Funktion anhand des folgenden Graphen:

Graph der Funktion f

Die Definitionsmenge dieser Funktion ist das Intervall [−4; 4].
Die Wertemenge ist das Intervall [−2; 4].
Die Funktion sieht zwar so aus, als könnte sie streng monoton steigend sein, aber im Abschnitt [0; 2] hat sie einen konstanten Wert, also kann sie nicht streng monoton steigend sein. Allerdings fällt die Funktion in keinem Intervall, deshalb ist sie monoton steigend.
Der Graph der Funktion ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems, die Funktion ist also weder gerade noch ungerade.
Ist die Funktion injektiv? Es wurde schon gesagt, dass die Funktion im Abschnitt [0; 2] einen konstanten Wert hat, also kann sie nicht injektiv sein. Für verschiedene x hat sie dasselbe y.
Die Funktion ist beschränkt, und zwar sowohl nach oben als auch nach unten. Wir können eine waagerechte Gerade finden, die über dem ganzen Graphen liegt, und eine, die unter dem ganzen Graphen liegt.
Die gegebene Funktion hat auch ein Minimum und ein Maximum. Das Minimum hat sie an der Stelle m = −4 und das Maximum an der Stelle M = 4.

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