Wurzeln

Die Wurzel ist eine teilweise Umkehrfunktion zur Potenz. Am häufigsten arbeiten wir mit der Quadratwurzel, die die Zahl sucht, die wir mit sich selbst multiplizieren müssen, um die ursprüngliche Zahl zu erhalten, aus der wir die Wurzel gezogen haben.

Quadratwurzel

Für die Wurzel verwendet man das Zeichen $\sqrt{}$. Damit wir das Argument der Wurzel nicht in Klammern schreiben müssen, etwa so: $\sqrt{}$(25), zieht man über das ganze Argument (den Term, aus dem wir die Wurzel ziehen wollen) einen waagerechten Strich, so: $\sqrt{25}$.

Zu Beginn beschäftigen wir uns nur mit der Quadratwurzel aus einer reellen Zahl. Diese würden wir so definieren:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Multiplizierst du die Wurzel der Zahl a mit der Wurzel der Zahl a, erhältst du die Zahl a. Für die Zahl 9 wäre die Wurzel also gleich 3, denn es gilt 3 · 3 = 9.

Den vorherigen Term können wir auch so schreiben:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Das ist nur eine andere Schreibweise der vorherigen Multiplikation, nämlich mithilfe der Potenz.

Wichtig ist, dass diese Gleichung nur für die a gilt, die in der Definitionsmenge der Wurzel liegen. Es gilt nämlich, dass wir aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen können. Wir können aus jeder positiven Zahl die Wurzel ziehen, wir können aus der Null die Wurzel ziehen, aber aus einer negativen Zahl können wir es nicht? Warum geht das nicht?

Nehmen wir an, wir wollen die Wurzel aus −25 berechnen. Wir haben im Grunde zwei Möglichkeiten, welche Zahl wir wählen. Entweder eine positive oder eine negative. Wählen wir eine positive, haben wir 5 · 5 = 25. Wir haben zwar 25 erhalten, wir wollen aber −25. Wir versuchen es also mit −5; doch nach der Multiplikation haben wir wieder 25. Kurz: Multiplizierst du zwei negative Zahlen, erhältst du eine positive Zahl. Genauso, wenn du zwei positive Zahlen multiplizierst. Du müsstest −5 · 5 multiplizieren, um −25 zu erhalten, und das geht nicht, denn du multiplizierst zwei verschiedene Zahlen, auch wenn sie sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Deshalb lässt sich die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht berechnen.

Höhere Wurzeln

So wie wir einen Term quadrieren, in die dritte und in die vierte Potenz erheben können, können wir auch die dritte und vierte und schließlich die n-te Wurzel aus einer reellen Zahl haben. Die Zahl schreibt man üblicherweise oben in den Haken des Wurzelzeichens, so:

$$\sqrt[5]{32}$$

Diese Schreibweise bedeutet die fünfte Wurzel aus der Zahl zweiunddreißig. Die n-te Wurzel definieren wir mithilfe der n-ten Potenz so:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in \mathbb{N},a,b\ge 0$$

Setzen wir für n die Zwei ein, erhalten wir die Quadratwurzel, so wie wir sie vor einem Moment definiert haben. Kurz könnten wir es auch so definieren:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Es gilt die Konvention, dass wir bei der Quadratwurzel die Zwei nicht schreiben müssen, die folgenden Schreibweisen sind also gleichwertig:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Für die vierte Wurzel würde also zum Beispiel gelten:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

Und ein konkretes Beispiel:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Und umgekehrt gilt 4 · 4 · 4 = 64.

Wurzel aus einer negativen Zahl

Wir wissen schon, dass es keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gibt, weil a², wobei a eine reelle Zahl ist, nie negativ sein wird. Bei höheren Wurzeln multiplizieren wir aber nicht nur zweimal, es können also Fälle eintreten, in denen die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl existiert. Wie ist es also?

Gestört hat uns, dass wir eine positive Zahl erhalten, wenn wir eine negative Zahl zweimal multiplizieren. Für das Ergebnis −25 brauchten wir das Produkt −5 · 5. Was passiert aber, wenn wir drei negative Zahlen multiplizieren? Nach der Multiplikation der ersten zwei negativen Zahlen haben wir eine positive Zahl. Nach der Multiplikation mit der letzten negativen Zahl haben wir aber wieder eine negative Zahl. Würden wir noch einmal multiplizieren (insgesamt viermal), sind wir wieder bei den positiven Zahlen.

Die Lehre daraus: Multiplizieren wir eine negative Zahl n-mal, ist das Produkt positiv, wenn n gerade ist, und negativ, wenn n ungerade ist. Daraus folgern wir, dass die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl existiert, wenn n ungerade ist. Beispiel:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Umwandlung in eine Potenz

Wurzeln können wir leicht in Potenzen umwandeln, und das macht man auch oft, weil man mit Potenzen dann besser rechnen kann. Es gilt die folgende Beziehung:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Haben wir die n-te Wurzel aus a, ist das dasselbe, als würden wir a mit 1/n potenzieren. Das kann dir auch nützlich sein, wenn du irgendwo eine höhere Wurzel als die Quadratwurzel eingeben willst. Oft geht das nicht direkt, aber man kann in den Exponenten einen Bruch eingeben. Möchtest du dir den Graphen der vierten Wurzel zeichnen lassen, lass dir den Graphen der Funktion

$$f(x)=x^{1/4}.$$

zeichnen.

Am häufigsten wird die Umwandlung der Quadratwurzel verwendet:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Formeln für Wurzeln

Weil sich die Wurzel leicht in eine Potenz umwandeln lässt, erben Terme mit Wurzeln die Formeln für allgemeine Potenzen. Es gelten also die folgenden Beziehungen:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Gleichzeitig gelten diese grundlegenden Beziehungen:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Teilweises Wurzelziehen

Das teilweise Wurzelziehen ist eine Technik, die zum Vereinfachen von Wurzeln dient und eine der vorhergehenden Formeln nutzt:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Manche Terme unter der Wurzel können wir nämlich in ein Produkt zerlegen, anschließend in zwei Wurzeln aufschreiben und schließlich aus einer dieser Wurzeln die Wurzel ziehen. Ein typisches Beispiel kann dieses sein:

$$\sqrt{4x}$$

Diesen Term können wir nach der vorherigen Formel so umschreiben:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

Und jetzt können wir aus der Vier die Wurzel ziehen:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

Ähnlich können wir auch eine gewöhnliche Zahl umschreiben, wenn wir die exakte Form beibehalten wollen. Also ein Beispiel:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$