Multiplikation
Die Multiplikation ist eine grundlegende Rechenoperation, der wir im Alltag ständig begegnen.
Was ist Multiplikation
Die Operation der Multiplikation kennzeichnen wir entweder mit einem Malpunkt oder mit einem Kreuz. Wenn wir drei mal sieben schreiben wollten, schrieben wir es als 3 · 7 oder 3 × 7. Manchmal wird anstelle des Kreuzes der gewöhnliche Buchstabe x (Ix) verwendet: 3 x 7.
Die Multiplikation natürlicher Zahlen, d. h. der Zahlen 1, 2, 3, …, können wir einfach in eine Addition umwandeln. Nehmen wir als Beispiel 4 · 6 = ?, vier mal sechs. In die Alltagssprache könnten wir das so übersetzen, dass wir sagen: „Geh viermal zu Max und gib ihm jedes Mal sechs Ohrfeigen.“ Wie hoch ist die Gesamtzahl der Ohrfeigen? Beim ersten Mal geben wir ihm sechs Ohrfeigen, beim zweiten Mal auch, beim dritten Mal auch und beim vierten Mal auch. Insgesamt haben wir ihm 6 + 6 + 6 + 6 = 24 Ohrfeigen gegeben. Damit wir nicht immer so viele gleiche Zahlen zum Addieren aufschreiben müssen, wurde eben die Multiplikation eingeführt. Wenn wir also vier Sechsen addieren wollen, können wir statt 6 + 6 + 6 + 6 einfach 4 × 6 schreiben.
Beachte, dass es egal ist, ob wir vier Sechsen oder sechs Vieren addieren. Wir erhalten immer das gleiche Ergebnis.
Das Ergebnis der Multiplikation nennen wir Produkt, wir sagen also „das Produkt der Zahlen 4 und 6 ist 24“, gegebenenfalls „das Produkt der Zahlen 4 mal 6 ist 24“. Die Zahlen, die wir multiplizieren, in diesem Fall die Zahlen 4 und 6, heißen Faktoren.
Grafische Darstellung der Multiplikation
Grafisch können wir die Multiplikation als Flächeninhalt eines Rechtecks darstellen. Bleiben wir beim Beispiel 4 · 6. Wir erzeugen ein Rechteck, das eine Seite der Länge 4 und die andere Seite der Länge 6 hat. Das Rechteck sieht so aus:
Nun berechnen wir den Flächeninhalt dieses Rechtecks, das heißt, wir zählen alle Quadrate, die sich darin befinden.
Wir sehen, dass es genau 24 Quadrate sind. Warum? Weil wir viermal sechs Quadrate aufeinandergestapelt haben, das Ergebnis ist also wieder die Summe 6 + 6 + 6 + 6 = 24.
Multiplikation mit null
Wenn wir eine beliebige Zahl mit null multiplizieren, ist das Ergebnis wieder null. Die Begründung ist einfach: Wenn wir bei den vorigen Beispielen bleiben, ist es so, als würden wir sagen: „Geh kein einziges Mal zu Max und gib ihm sechs Ohrfeigen.“ Max ist diesmal fein raus, denn er soll zwar sechs Ohrfeigen bekommen, aber nicht ein einziges Mal.
Man kann es auch grafisch zeigen. Die Abbildung, die das Produkt 5 · 0 darstellt, würde so aussehen:
Weil der zweite Faktor den Wert null hat, hat auch eine Seite des Rechtecks die Länge null, wodurch aus dem Rechteck eine Strecke wird, die keinen Flächeninhalt hat.
Vorrang der Multiplikation („Punkt vor Strich“)
Die Multiplikation hat Vorrang vor der Addition und der Subtraktion. Das bedeutet: Wenn du die Aufgabe 2 + 3 · 4 hast, berechnest du zuerst das Produkt 3 · 4 = 12 und erst danach die Summe. Nach der Berechnung des Produkts haben wir also 2 + 12, und das ist gleich 14.
Würdest du zuerst die Summe berechnen, erhieltest du ein anderes Ergebnis: 2 + 3 = 5 und danach 5 · 4 = 20. Dieses Ergebnis ist falsch.
Dasselbe gilt für die Subtraktion, also würde 10 − 8 · 2 + 7 so gerechnet, als wären dort Klammern: 10 − (8 · 2) + 7. Also: 10 − 16 + 7 = 1.
Vorsicht vor Fangfragen, die oft auf Facebook auftauchen. Dort erscheinen Aufgaben wie 1 + 1 + 1 · 0 = ?. Viele Leute sehen die Multiplikation mit null und schreiben sofort, dass das Ergebnis null ist, aber das ist falsch. Weil die Multiplikation Vorrang hat, ist diese Aufgabe äquivalent zur Aufgabe 1 + 1 + (1 · 0) = ?.
Hier berechnen wir zuerst die Klammer: 1 + 1 + 0 = ? und jetzt addieren wir: 1 + 1 + 0 = 2. Das richtige Ergebnis ist 2, nicht 0.
Am tückischsten ist, dass auch ein einfacherer Taschenrechner das Ergebnis null ausspuckt. Warum? Weil du bei einfachen Taschenrechnern nicht den ganzen Term eingibst, sondern ihn schrittweise eingibst und der Taschenrechner mit dem Zwischenergebnis arbeitet. Wenn du in so einen Taschenrechner 1 + 1 + 1 · 0 eintippst, berechnet er zuerst 1 + 1 = 2, dann berechnet er 2 + 1 = 3, weil er sich nur das Zwischenergebnis 2 merkt, und zum Schluss berechnet er 3 · 0 = 0. Der Taschenrechner hat in Wirklichkeit die Aufgabe (((1 + 1) + 1) · 0) berechnet.
Manche Taschenrechner können mit der Rangfolge umgehen, manche erlauben es, die ganze Aufgabe in einem Zug einzugeben, und berechnen sie dann richtig. Wenn deiner das gerade nicht kann, denke daran.
Über den Vorrang der Multiplikation kannst du in einem eigenen Artikel nachlesen.
Kleines Einmaleins
Für das weitere Rechnen ist es nützlich, sich das ganze kleine Einmaleins zu merken, also alle Vielfachen der Zahlen kleiner als 11:
Zuerst das kleine Einmaleins von eins bis fünf:
Und jetzt von sechs bis zehn:
Kapitel: Multiplikation, Schriftliche Multiplikation, Multiplikation negativer Zahlen
