Rechnen mit Prozenten

Prozente bezeichnen üblicherweise einen relativen Teil eines Ganzen, wobei das Ganze selbst als 100 % ausgedrückt wird. Prozente lassen sich immer als Bruch schreiben.

Prozente als Teil eines Ganzen

Prozente verwenden wir, wenn wir einen Teil eines Ganzen ausdrücken wollen. Mit Prozenten können wir Ausdrücke wie „ein Viertel der Klasse hat eine Fünf bekommen“ oder „jeder zweite Mensch ist ein Mann“ ersetzen. Wir haben immer ein Ganzes, zum Beispiel die ganze Klasse, und sagen dann, dass ein Viertel davon eine Fünf bekommen hat. Wenn in der Klasse 32 Schüler sind und ein Viertel von ihnen eine Fünf bekommen hat, dann ist die Gesamtzahl der Schüler, die eine Fünf bekommen haben, gleich:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{was dasselbe ist wie}\frac{32}{4}=8$$

Im zweiten Fall können wir eine Stadt haben, sagen wir Fulda. Sie hat ungefähr 60.000 Einwohner. Wenn jeder zweite Einwohner ein Mann ist, bedeutet das, dass die Hälfte von ihnen Männer sind, was wir so schreiben:

$$\frac{1}{2}\cdot 60.000=30.000\text{was dasselbe ist wie}\frac{60.000}{2}=30.000$$

Weiter könnten wir sagen, dass „jeder Hundertste in Fulda ein Mathematiker ist“. Dann hätten wir in Fulda $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$ Mathematiker. „Jeder Hundertste“ ist dasselbe wie „ein Hundertstel der Einwohner“.

Jetzt können wir den Begriff des Prozents einführen. Ein Prozent, wir schreiben 1 %, bedeutet ein Hundertstel des Ganzen. Das heißt: Wenn wir sagen, dass „jeder Hundertste in Fulda ein Mathematiker ist“ und dass „ein Prozent der Leute in Fulda Mathematiker sind“, sagen wir damit dasselbe. Ein Prozent des Ganzen berechnest du, indem du das Ganze mit $\frac{1}{100}$ multiplizierst oder durch 100 dividierst, das ist dasselbe.

Prozente können wir leicht in Brüche umwandeln und damit weiterarbeiten. Wenn wir sagen würden, dass „in Fulda x % der Leute dunkle Haare haben“, dann ist das so, als würden wir sagen „in Fulda haben $\frac{x}{100}\cdot 60.000$ Leute dunkle Haare“. 100 % stellen dann das Ganze dar, also alle Einwohner. Der Satz „100 % der Schüler sind in die nächste Klasse versetzt worden“ bedeutet, dass alle Schüler versetzt wurden. Der Satz „0 % der Schüler sind durchgefallen“ sagt, dass niemand durchgefallen ist. Beispiele:

1. 35 % der Einwohner von Fulda fahren mit dem Bus. Wie viele Leute fahren mit dem Bus? 35 % ist dasselbe wie $\frac{35}{100}$ des Ganzen (= „fünfunddreißig Hundertstel des Ganzen“). Wir rechnen so: $\frac{35}{100}\cdot 60.000$. Das lässt sich einfach berechnen, indem wir zuerst 60.000 durch hundert teilen und dieses Ergebnis mit 35 multiplizieren. Im Grunde machen wir diese Umformung:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60.000=\frac{35\cdot 60.000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21.000$$

   Wir können es uns so vorstellen, dass wir zuerst die Anzahl der Einwohner berechnen, die einem Prozent entspricht: $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$. Einem Prozent entsprechen 600 Einwohner. Wir wollen 35 % der Einwohner wissen, also multiplizieren wir diese 600 Einwohner nur noch mit 35: 35 · 600 = 21.000.

2. Tim verdient im Durchschnitt 20 Euro am Tag. Heute hat er nur 75 % seines durchschnittlichen Lohns verdient. Wie viel hat Tim verdient? Das Vorgehen ist wieder dasselbe. Das Ganze ist 20 und 75 % wandeln wir in den Bruch $\frac{75}{100}$ um. Diesen Bruch können wir noch zum Bruch $\frac{3}{4}$ kürzen. Wir multiplizieren das Ganze mit diesem Bruch:

   $$\frac{3}{4}\cdot 20=\frac{3\cdot 20}{4}=3\cdot 5=15$$

3. Am nächsten Tag hat Tim das wieder wettgemacht und 150 % seines durchschnittlichen Lohns verdient. Wie viel hat er verdient? Kann man überhaupt mehr als 100 % haben, wo wir doch gesagt haben, dass 100 % das Ganze darstellen? Ja, das geht. So wie jemand „dreimal so viel Geld wie im Durchschnitt“ verdienen kann, kann jemand auch 150 % seines Durchschnitts verdienen.

   Wir gehen ganz genauso vor. 150 % wandeln wir in den Bruch $\frac{150}{100}$ um und multiplizieren mit diesem Bruch Tims durchschnittlichen Lohn, also 20:

   $$\frac{150}{100}\cdot 20=\frac{150\cdot 20}{100}=\frac{150}{5}=30$$

Prozente als Dreisatz

Einen Teil eines Ganzen, der mit Prozenten ausgedrückt ist, können wir leicht in einen Dreisatz umwandeln. Bleiben wir bei Tim, der durchschnittlich 20 Euro pro Tag verdient und heute 75 % seines durchschnittlichen Lohns verdient hat. Mit dem Dreisatz können wir das nämlich so aufschreiben:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 20\text{ Euro}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ Euro}\end{array}$$

Weil es sich um einen proportionalen Dreisatz handelt, erhalten wir die Form:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{20}$$

Wir multiplizieren die Gleichung mit 20 und erhalten:

$$\frac{75\cdot 20}{100}=x$$

Und daraus können wir das Ergebnis leicht berechnen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 20}{100}& =& x\\ \frac{75}{5}& =& x\\ x& =& 15\end{array}$$

Wir sehen, dass dieselbe Zahl herausgekommen ist.

Und was, wenn wir den Teil kennen, aber nicht das Ganze?

In den vorigen Beispielen sind wir immer davon ausgegangen, dass wir den genauen Wert des Ganzen kennen und daraus einen in Prozent angegebenen Teil berechnen sollen. Was aber, wenn wir gerade den Teil kennen und das Ganze nicht? Beispiel: Tim hat 120 Sammelkarten mit einem großen grünen Monster. Aber obwohl das eine beachtliche Anzahl an Karten mit grünen Monstern ist, hat er im Vergleich zu Julia nur sechzig Prozent der Karten. Wie viele Karten hat Julia?

Hier kennen wir den Teil, aber nicht das Ganze – das müssen wir erst berechnen. Im Moment wissen wir, dass 120 Karten 60 % der Karten entsprechen, die Julia hat. Um herauszufinden, wie viele Karten einem Prozent entsprechen, genügt es, die hundertzwanzig durch sechzig zu teilen. Wir erhalten die Zwei: 120/60 = 2. Ein Prozent der Karten sind in Wirklichkeit zwei Karten mit grünen Monstern. Weil wir das Ganze berechnen – und das sind immer 100 % –, multiplizieren wir diese Anzahl an Karten mit hundert. Und wir haben 200 Karten, was das richtige Ergebnis ist.

Wir können es überprüfen, indem wir 60 % von 200 berechnen: Wir multiplizieren einfach

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Wir sehen, dass 60 % von 200 gleich 120 sind, was genau die Anzahl der Karten mit dem grünen Monster ist, die Tim hat.

Addition von Prozenten

Wenn wir eine Aufgabe rechnen sollen, in der Prozente vorkommen, ist es immer am besten, anstelle der Prozente die genauen Werte zu berechnen und diese dann zu addieren. Die Aufgabenstellung könnte also etwa so lauten: Martin verdient 1.500, Stefan 2.000 und Lena 2.500 Euro im Monat. Berechne nun, wie viel Euro Simone verdient, die 30 % von dem verdient, was Martin verdient, plus 40 % von dem, was Stefan verdient, plus 25 % von dem, was Lena verdient.

Hier haben wir drei Terme mit Prozenten, aber jeder Term stammt von einem anderen Ganzen. Martin, Stefan und Lena verdienen jeweils eine andere Summe Geld. Also berechnen wir zuerst 30 % von Martins Gehalt. Das ist 1.500/100 = 15. Anschließend multiplizieren wir 15 · 30 und erhalten 450. Als Nächstes sind 40 % von Stefans Gehalt an der Reihe. Das ist 2.000/100 = 20. Wieder multiplizieren wir mit 40 und haben 20 · 40 = 800. Der letzte Teil sind 25 % von Lena. Sie verdient 2.500, davon ist ein Prozent 2.500/100 = 25. Durch Multiplikation mit 25 erhalten wir 25 · 25 = 625. Jetzt müssen wir nur noch alle Teilergebnisse addieren: 450 + 800 + 625 = 1.875. Simone verdient 1.875 Euro, was ein ganz schönes Gehalt ist.

Es kann uns aber passieren, dass wir tatsächlich Prozente addieren müssen. Prozente können wir nur dann addieren, wenn sie denselben Grundwert, dasselbe Ganze haben. Wenn also zum Beispiel Jakob 20 % von dem verdient, was Stefan verdient, plus 30 % von dem, was Stefan verdient, können wir die Prozente addieren, weil es sich um denselben Grundwert handelt – beide Terme rechnen mit Stefans Grundgehalt. Das Ergebnis ist also 20 % + 30 % = 50 %. Jakob verdient die Hälfte von dem, was Stefan verdient, tausend Euro.

Die tückische Addition von Prozenten nacheinander

Stell dir jetzt die folgende Situation vor: Michael hat im ersten Jahr 2.000 Euro im Monat verdient. Im zweiten Jahr hat er aber eine Gehaltserhöhung bekommen und sein Gehalt wurde um 30 % erhöht. Im dritten Jahr hat er wieder eine Erhöhung bekommen und sein Gehalt wurde erneut angehoben, diesmal aber nur um 10 %. Die Frage lautet, wie hoch Michaels Gehalt jetzt ist.

Diese Art von Aufgaben verleitet furchtbar dazu, die Prozente genauso wie im vorigen Fall zu addieren. Wir rechnen ja – scheinbar – immer noch mit demselben Grundwert, mit Michaels Gehalt. Also berechnen wir 30 % + 10 % und addieren das zu seinem Grundgehalt. Michael würde so 2.800 Euro verdienen. Aber so ist es nicht. Gehen wir es durch.

Im ersten Jahr bekam er 2.000. Im zweiten Jahr bekam er 2.000 + 30 %. Das sind 2.600, wie du sicher schon selbst ausgerechnet hast. Und nun wurde ihm im nächsten Jahr das Gehalt um zehn Prozent erhöht. Aber Achtung! Der Grundwert sind nicht mehr die zweitausend, die er im ersten Jahr hatte. Der Grundwert sind jetzt schon zweitausendsechshundert! Und wie wir wissen, können wir Prozente nur dann addieren, wenn sich die Prozente auf denselben Grundwert beziehen. Und in unserem Fall ist der Grundwert verschieden. Beim ersten Mal waren es 2.000 und jetzt sind es 2.600. Also bekam Michael im letzten Jahr 2.600 + 10 %, das sind 2.860.

Die Lösung mit 2.800 war erstens falsch und zweitens haben wir den armen Michael um 60 Euro gebracht. Sei nicht gemein zu Michael!

Kauf dir ein Mathebuch im Angebot!

Ein klassisches Beispiel gibt es auch mit einem Rabatt. Stell dir vor, dass es im Laden ein Mathebuch gibt, das du dir vom Christkind zum Geburtstag so sehr wünschen würdest. Was würdest du dir sonst auch wünschen, oder? :-)

Vor Weihnachten verteuert der Laden das Buch aber um 20 %. Du sagst dir, dass du doch lieber wartest und es nach Weihnachten kaufst. Das war richtig, denn der Laden hat das Buch nach den Feiertagen um 20 % billiger gemacht. Die Frage lautet – kostet das Buch genauso viel wie vor der Preiserhöhung? Oder kostet es mehr oder weniger?

Der gesunde Menschenverstand mancher Leute sagt wieder, dass das Buch gleich viel kostet, aber das stimmt nicht. Rechnen wir nach. Nehmen wir an, das Buch hat 30 Euro gekostet. 20 % Preiserhöhung bedeuten, dass das Buch um $\frac{20}{100}\cdot 30=6$ Euro teurer war. Das Buch kostete also 36 Euro.

Aber der Rabatt von 20 % wird nicht mehr vom Grundwert 30 berechnet, sondern vom Grundwert 36! Das heißt, das Buch wird um $\frac{20}{100}\cdot 36=7,20$ Euro billiger. Das Buch kostet nach dem Rabatt 28,80 Euro.

(Aber ehrlich, wer würde ein Mathebuch kaufen, wo es doch diese Website für dich gibt ;-))

Promille

Promille werden am häufigsten bei der Messung von Alkohol im Blut eines Fahrers verwendet. Manche Leute glauben fälschlich, dass ein Promille ein Tausendstel eines Prozents ist, aber das ist ein Fehler, pass darauf auf. Ein Promille ist ein Tausendstel des Ganzen. Ansonsten rechnet man mit Promille ganz genauso wie mit Prozenten. Wenn du x Promille von 5000 wissen willst, rechnest du $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. Statt 100 steht im Nenner des Bruchs 1000. Drei Promille von 5000 sind also $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Promille werden mit dem Symbol ‰ geschrieben. Es gilt also $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Mehr im eigenen Artikel über Promille.

Typografie der Prozente

Es gibt einen Unterschied zwischen den Schreibweisen „100 %“ (mit Leerzeichen) und „100%ig“ (ohne Leerzeichen). Die Version mit Leerzeichen bedeutet „hundert Prozent“, die Version ohne Leerzeichen dagegen „hundertprozentig“ (auch „100-prozentig“). Denk bitte beim Schreiben daran und reg dich nicht zu sehr auf, wenn sie es in der Zeitung falsch haben :-).

Prozentpunkt

Außer den normalen Prozenten können wir noch Prozentpunkte haben. Was ist der Unterschied? Stell dir vor, dass den Browser Firefox vor zwei Jahren 20 % der Leute benutzt haben, dieses Jahr benutzen ihn aber schon 30 % der Leute. Wie groß ist der Anstieg zwischen diesen beiden Jahren? Es wäre ein Fehler zu sagen, dass der Anstieg zehn Prozent beträgt. Wenn Firefox zuerst 20 % der Leute benutzt haben und dann 30 %, bedeutet das, dass ihn jetzt um die Hälfte mehr Leute benutzen als vorher. Das bedeutet einen Anstieg um fünfzig Prozent.

Aber es ist wieder etwas unschön zu sagen, dass der Anstieg 50 % beträgt, wenn es für alle verständlicher wäre zu sagen, dass der Prozentsatz um zehn gestiegen ist. Und genau dafür haben wir die Prozentpunkte. In diesem Fall können wir sagen, dass der Anstieg der Nutzung des Browsers Firefox zehn Prozentpunkte beträgt. Prozentpunkte können wir verwenden, wenn wir die einfache Differenz zwischen zwei Prozentangaben ausdrücken wollen.