Υπολογισμοί με ποσοστά

Τα ποσοστά συνήθως δηλώνουν κάποιο σχετικό μέρος ενός όλου, ενώ το ίδιο το όλο εκφράζεται ως 100%. Τα ποσοστά μπορούν πάντα να γραφτούν ως κλάσμα.

Τα ποσοστά ως μέρος του όλου

Χρησιμοποιούμε τα ποσοστά όταν θέλουμε να εκφράσουμε ένα μέρος κάποιου όλου. Με ποσοστά μπορούμε να αντικαταστήσουμε εκφράσεις όπως «το ένα τέταρτο της τάξης πήρε οκτώ» ή «ένας στους δύο ανθρώπους είναι άντρας». Πάντα έχουμε κάποιο όλο, για παράδειγμα ολόκληρη την τάξη των μαθητών, και λέμε επιπλέον ότι το ένα τέταρτο από αυτούς πήρε οκτώ. Αν στην τάξη υπάρχουν 32 μαθητές και το ένα τέταρτο από αυτούς πήρε οκτώ, τότε ο συνολικός αριθμός των μαθητών που πήραν οκτώ θα ισούται με:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{που είναι το ίδιο με}\frac{32}{4}=8$$

Στη δεύτερη περίπτωση μπορεί να έχουμε μια πόλη, ας πούμε τα Τρίκαλα. Αυτά έχουν περίπου 60.000 κατοίκους. Αν ένας στους δύο κατοίκους είναι άντρας, αυτό σημαίνει ότι οι μισοί από αυτούς είναι άντρες, και το γράφουμε ως:

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{που είναι το ίδιο με}\frac{60000}{2}=30000$$

Θα μπορούσαμε ακόμα να πούμε ότι «ένας στους εκατό ανθρώπους στα Τρίκαλα είναι μαθηματικός». Τότε θα ίσχυε ότι στα Τρίκαλα έχουμε $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$ μαθηματικούς. «Ένας στους εκατό» είναι το ίδιο με «το ένα εκατοστό των κατοίκων».

Τώρα μπορούμε να εισαγάγουμε την έννοια του ποσοστού. Το ένα τοις εκατό, που το γράφουμε 1%, σημαίνει το ένα εκατοστό του όλου. Αυτό σημαίνει ότι όταν λέμε «ένας στους εκατό ανθρώπους στα Τρίκαλα είναι μαθηματικός» και «το ένα τοις εκατό των ανθρώπων στα Τρίκαλα είναι μαθηματικοί», λέμε το ίδιο πράγμα. Το ένα τοις εκατό του όλου το υπολογίζουμε πολλαπλασιάζοντας το όλο με $\frac{1}{100}$ ή διαιρώντας το με 100, είναι το ίδιο.

Τα ποσοστά μπορούμε εύκολα να τα μετατρέπουμε σε κλάσματα και να δουλεύουμε μετά με αυτά. Αν λέγαμε ότι «στα Τρίκαλα το x% των ανθρώπων έχει σκούρα μαλλιά», τότε είναι το ίδιο σαν να λέγαμε «στα Τρίκαλα $\frac{x}{100}\cdot 60000$ άνθρωποι έχουν σκούρα μαλλιά». Το 100% αντιπροσωπεύει τότε το όλο, δηλαδή όλους τους κατοίκους. Η φράση «το 100% των μαθητών προήχθη στην επόμενη τάξη» σημαίνει ότι προήχθησαν όλοι οι μαθητές. Η φράση «το 0% των μαθητών απορρίφθηκε» λέει ότι δεν απορρίφθηκε κανείς. Παραδείγματα:

1. Το 35% των κατοίκων των Τρικάλων μετακινείται με λεωφορεία. Πόσοι άνθρωποι μετακινούνται με λεωφορεία; Το 35 % είναι το ίδιο με $\frac{35}{100}$ του όλου (= «τριάντα πέντε εκατοστά του όλου»). Υπολογίζουμε λοιπόν: $\frac{35}{100}\cdot 60000$. Αυτό υπολογίζεται εύκολα αν πρώτα διαιρέσουμε το 60.000 με το εκατό και αυτό το αποτέλεσμα το πολλαπλασιάσουμε με το 35. Ουσιαστικά κάνουμε αυτή τη μετατροπή:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60000=\frac{35\cdot 60000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21000$$

   Μπορούμε να το φανταστούμε έτσι: πρώτα υπολογίζουμε τον αριθμό των κατοίκων που αντιστοιχεί στο ένα τοις εκατό: $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$. Στο ένα τοις εκατό αντιστοιχούν 600 κάτοικοι. Εμείς θέλουμε να ξέρουμε το 35% των κατοίκων, άρα αυτούς τους 600 κατοίκους απλώς τους πολλαπλασιάζουμε 35 · 600 = 21000.

2. Ο Νίκος κερδίζει κατά μέσο όρο 20 ευρώ την ημέρα. Σήμερα κέρδισε μόνο το 75% του μέσου μισθού του. Πόσα κέρδισε ο Νίκος; Η διαδικασία είναι πάλι η ίδια. Το όλο είναι 20 και το 75% το μετατρέπουμε στο κλάσμα $\frac{75}{100}$. Αυτό το κλάσμα μπορούμε ακόμα να το απλοποιήσουμε στο κλάσμα $\frac{3}{4}$. Πολλαπλασιάζουμε το όλο με αυτό το κλάσμα:

   $$\frac{3}{4}\cdot 20=\frac{3\cdot 20}{4}=3\cdot 5=15$$

3. Την επόμενη μέρα ο Νίκος έκανε το κέφι του και κέρδισε το 150% του μέσου μισθού του. Πόσα κέρδισε; Μπορούμε να έχουμε καν περισσότερο από 100%, όταν είπαμε ότι το 100% αντιπροσωπεύει το όλο; Ναι, γίνεται. Όπως κάποιος μπορεί να κερδίσει «τρεις φορές περισσότερα χρήματα από τον μέσο όρο», έτσι κάποιος μπορεί να κερδίσει το 150% του μέσου όρου του.

   Θα προχωρήσουμε ακριβώς με τον ίδιο τρόπο. Το 150% το μετατρέπουμε στο κλάσμα $\frac{150}{100}$ και με αυτό το κλάσμα πολλαπλασιάζουμε τον μέσο μισθό του Νίκου, δηλαδή το 20:

   $$\frac{150}{100}\cdot 20=\frac{150\cdot 20}{100}=\frac{150}{5}=30$$

Τα ποσοστά ως μέθοδος των τριών

Το μέρος του όλου που εκφράζεται με ποσοστά μπορούμε εύκολα να το μετατρέψουμε σε μέθοδο των τριών. Ας μείνουμε στον Νίκο, που κερδίζει κατά μέσο όρο 20 ευρώ την ημέρα και σήμερα κέρδισε το 75% του μέσου μισθού του. Μπορούμε να το γράψουμε με τη μέθοδο των τριών ως εξής:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 20\text{ ευρώ}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ ευρώ}\end{array}$$

Επειδή πρόκειται για ανάλογα ποσά, παίρνουμε τη μορφή:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{20}$$

Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με το 20 και έχουμε:

$$\frac{75\cdot 20}{100}=x$$

Και από εδώ φτάνουμε εύκολα στο αποτέλεσμα:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 20}{100}& =& x\\ \frac{75}{5}& =& x\\ x& =& 75:5\\ x& =& 15\end{array}$$

Βλέπουμε ότι βγήκε ο ίδιος αριθμός.

Και αν ξέρουμε το μέρος και δεν ξέρουμε το όλο;

Στα προηγούμενα παραδείγματα υπολογίζαμε πάντα ότι ξέρουμε την ακριβή τιμή του όλου και πρέπει να υπολογίσουμε από αυτήν ένα ορισμένο μέρος που δίνεται σε ποσοστό. Τι γίνεται όμως όταν ξέρουμε ακριβώς το μέρος και δεν ξέρουμε το όλο; Παράδειγμα: Ο Νίκος έχει 120 μαγικές κάρτες με ένα μεγάλο πράσινο τέρας. Ωστόσο, παρότι αυτό είναι αξιοσέβαστος αριθμός καρτών με πράσινα τέρατα, έχει ακόμα μόνο εξήντα τοις εκατό των καρτών σε σχέση με τη Μαρία. Πόσες κάρτες έχει η Μαρία;

Εδώ ξέρουμε το μέρος, αλλά δεν ξέρουμε το όλο – αυτό πρέπει να το υπολογίσουμε. Αυτή τη στιγμή ξέρουμε ότι οι 120 κάρτες αντιστοιχούν στο 60% των καρτών που έχει η Μαρία. Για να βρούμε πόσες κάρτες αντιστοιχούν στο ένα τοις εκατό, αρκεί να διαιρέσουμε το εκατόν είκοσι με το εξήντα. Παίρνουμε το δύο: 120/60 = 2. Το ένα τοις εκατό των καρτών είναι στην πραγματικότητα δύο κάρτες με πράσινο τέρας. Επειδή υπολογίζουμε το όλο – και αυτό είναι πάντα 100% – πολλαπλασιάζουμε αυτόν τον αριθμό καρτών με το εκατό. Και έχουμε 200 κάρτες, που είναι το σωστό αποτέλεσμα.

Μπορούμε να το επαληθεύσουμε υπολογίζοντας το 60% του 200: Απλώς πολλαπλασιάζουμε

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Βλέπουμε ότι το 60% του 200 αντιστοιχεί στο 120, που είναι ακριβώς ο αριθμός των καρτών με πράσινο τέρας που έχει ο Νίκος.

Πρόσθεση ποσοστών

Όταν πρέπει να λύσουμε ένα πρόβλημα όπου εμφανίζονται ποσοστά, είναι πάντα καλύτερο, αντί για ποσοστά, να υπολογίσουμε τις ακριβείς τιμές και μετά να τις προσθέσουμε. Η εκφώνηση της άσκησης θα μπορούσε λοιπόν να είναι κάπως έτσι: Ο Μάρκος κερδίζει 600, ο Στάθης 800 και η Λουκία 1000 ευρώ. Υπολόγισε τώρα πόσα ευρώ κερδίζει η Σιμόνη, που κερδίζει το 30% του Μάρκου συν το 40% του Στάθη συν το 25% της Λουκίας.

Εδώ έχουμε τρεις παραστάσεις με ποσοστά, αλλά κάθε παράσταση προέρχεται από διαφορετικό όλο. Ο Μάρκος, ο Στάθης και η Λουκία κερδίζουν ο καθένας διαφορετικό ποσό χρημάτων. Άρα πρώτα υπολογίζουμε το 30% του μισθού του Μάρκου. Αυτό είναι 600/100 = 6. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε 6 · 30 και παίρνουμε 180. Έπειτα έρχεται το 40% του μισθού του Στάθη. Αυτό είναι 800/100 = 8. Πάλι το πολλαπλασιάζουμε με το 40 και έχουμε 8 · 40 = 320. Το τελευταίο μέρος είναι το 25% της Λουκίας. Εκείνη κερδίζει 1000, από αυτά το ένα τοις εκατό είναι 1000/100 = 10. Πολλαπλασιάζοντας με το 25 παίρνουμε 10 · 25 = 250. Τώρα απλώς προσθέτουμε όλα τα επιμέρους αποτελέσματα: 180 + 320 + 250 = 750. Η Σιμόνη κερδίζει 750 ευρώ, που είναι αρκετά καλό εισόδημα.

Ωστόσο μπορεί να μας τύχει να προσθέτουμε πραγματικά ποσοστά. Τα ποσοστά μπορούμε να τα προσθέτουμε μόνο όταν έχουν την ίδια βάση, το ίδιο όλο. Έτσι, αν ο Γιάννης κέρδιζε το 20% του μισθού του Στάθη συν το 30% του μισθού του Στάθη, μπορούμε να προσθέσουμε αυτά τα ποσοστά, επειδή πρόκειται για την ίδια βάση – και οι δύο παραστάσεις υπολογίζουν με τον βασικό μισθό του Στάθη. Το αποτέλεσμα θα είναι λοιπόν 20% + 30% = 50%. Ο Γιάννης κερδίζει το μισό από όσα κερδίζει ο Στάθης, τετρακόσια ευρώ.

Η παραπλανητική διαδοχική πρόσθεση ποσοστών

Φαντάσου τώρα την εξής κατάσταση: Ο Μίλτος κέρδισε τον πρώτο χρόνο 400 ευρώ. Τον δεύτερο χρόνο όμως πήρε αύξηση και του ανέβασαν τον μισθό κατά 30%. Τον επόμενο, τρίτο χρόνο, πήρε πάλι αύξηση και ξανά του ανέβασαν τον μισθό, αν και αυτή τη φορά μόνο κατά 10%. Το ερώτημα είναι, πόσο μισθό έχει τώρα ο Μίλτος;

Αυτός ο τύπος παραδειγμάτων σε παρασύρει φοβερά να προσθέσεις τα ποσοστά όπως στην προηγούμενη περίπτωση. Άλλωστε, φαινομενικά, υπολογίζουμε ακόμα με την ίδια βάση, τον μισθό του Μίλτου. Άρα υπολογίζουμε 30% + 10% και το προσθέτουμε στον βασικό του μισθό. Ο Μίλτος θα κέρδιζε έτσι 560 ευρώ. Μόνο που δεν είναι έτσι. Ας το περάσουμε βήμα βήμα.

Τον πρώτο χρόνο έπαιρνε 400. Τον δεύτερο χρόνο έπαιρνε 400 + 30%. Που είναι 520, όπως ήδη σίγουρα υπολόγισες μόνος σου. Και τώρα τον επόμενο χρόνο του ανέβασαν τον μισθό κατά δέκα τοις εκατό. Μόνο που προσοχή! Η βάση δεν είναι πια εκείνα τα τετρακόσια που είχε τον πρώτο χρόνο. Η βάση είναι πια πεντακόσια είκοσι! Και όπως ξέρουμε, τα ποσοστά μπορούμε να τα προσθέτουμε μόνο όταν υπολογίζονται από την ίδια βάση. Και στην περίπτωσή μας η βάση είναι διαφορετική. Την πρώτη φορά ήταν 400 και τώρα είναι 520. Άρα τον τελευταίο χρόνο ο Μίλτος έπαιρνε 520 + 10%, που είναι 572.

Η λύση με τα 560 ήταν και λάθος και επιπλέον αδικήσαμε τον καημένο τον Μίλτο κατά 12 ευρώ. Μην είσαι κακός με τον Μίλτο!

Αγόρασε το σχολικό βιβλίο μαθηματικών με έκπτωση!

Κλασικό παράδειγμα είναι και αυτό με την έκπτωση. Φαντάσου ότι στο βιβλιοπωλείο έχουν ένα βιβλίο μαθηματικών που θα το ήθελες πολύ για τα Χριστούγεννα. Άλλωστε τι άλλο θα ήθελες, σωστά; :-)

Πριν από τα Χριστούγεννα όμως το βιβλίο ακριβαίνει, κατά 20 %. Λες ότι τελικά θα περιμένεις και θα το αγοράσεις μετά τα Χριστούγεννα. Έκανες καλά, γιατί το βιβλιοπωλείο μετά τις γιορτές έκανε στο βιβλίο έκπτωση 20 %. Το ερώτημα είναι – κοστίζει το βιβλίο όσο πριν από την ανατίμηση; Ή κοστίζει περισσότερο/λιγότερο;

Η κοινή λογική κάποιων ανθρώπων πάλι υπαγορεύει ότι το βιβλίο θα κοστίζει το ίδιο, αλλά δεν είναι αλήθεια. Ας το υπολογίσουμε. Ας πούμε ότι το βιβλίο κόστιζε 20 ευρώ. Η ανατίμηση κατά 20% σημαίνει ότι το βιβλίο έγινε ακριβότερο κατά $\frac{20}{100}\cdot 20=4$ ευρώ. Το βιβλίο κόστιζε έτσι 24 ευρώ.

Μόνο που η έκπτωση 20% δεν υπολογίζεται πια από τη βάση 20, αλλά από τη βάση 24! Αυτό σημαίνει ότι το βιβλίο θα φθηνύνει κατά $\frac{20}{100}\cdot 24=4,8$ ευρώ. Το βιβλίο μετά την έκπτωση κοστίζει 19,20 ευρώ.

(Αλλά ειλικρινά, ποιος θα αγόραζε σχολικό βιβλίο μαθηματικών, όταν υπάρχει εδώ για σένα το «Μαθηματικά με απλά λόγια» ;-))

Τοις χιλίοις

Τα τοις χιλίοις χρησιμοποιούνται συχνότερα στη μέτρηση του αλκοόλ στο αίμα του οδηγού. Κάποιοι άνθρωποι νομίζουν λανθασμένα ότι το τοις χιλίοις είναι το ένα χιλιοστό του ενός τοις εκατό, αλλά αυτό είναι λάθος, πρόσεξε το. Το τοις χιλίοις είναι το ένα χιλιοστό του όλου. Κατά τα άλλα, με τα τοις χιλίοις υπολογίζουμε ακριβώς όπως με τα ποσοστά. Αν θέλεις να βρεις x τοις χιλίοις του 5000, το υπολογίζεις ως $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. Αντί για 100, στον παρονομαστή του κλάσματος είναι το 1000. Τρία τοις χιλίοις του 5000 είναι έτσι $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Τα τοις χιλίοις σημειώνονται με το σύμβολο ‰. Ισχύει λοιπόν ότι $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Περισσότερα στο ξεχωριστό άρθρο για τα τοις χιλίοις.

Ποσοστιαία μονάδα

Εκτός από τα κανονικά ποσοστά μπορούμε να έχουμε και ποσοστιαίες μονάδες. Ποια είναι η διαφορά; Φαντάσου ότι τον περιηγητή Firefox πριν από δύο χρόνια τον χρησιμοποιούσε το 20 % των ανθρώπων, αλλά φέτος τον χρησιμοποιεί ήδη το 30% των ανθρώπων. Ποια είναι η αύξηση ανάμεσα σε αυτά τα δύο χρόνια; Λάθος θα ήταν να πούμε ότι η αύξηση είναι δέκα τοις εκατό. Αν τον Firefox πρώτα τον χρησιμοποιούσε το 20% των ανθρώπων και μετά το 30%, αυτό σημαίνει ότι τώρα τον χρησιμοποιούν κατά το μισό περισσότεροι άνθρωποι από πριν. Δηλαδή αύξηση πενήντα τοις εκατό.

Αλλά πάλι είναι κάπως άτοπο να λέμε ότι η αύξηση είναι 50%, όταν για όλους θα ήταν πιο κατανοητό να πούμε ότι το ποσοστό ανέβηκε κατά δέκα. Και ακριβώς γι' αυτό έχουμε τις ποσοστιαίες μονάδες. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να πούμε ότι η αύξηση της χρήσης του περιηγητή Firefox είναι δέκα ποσοστιαίες μονάδες. Τις ποσοστιαίες μονάδες μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε όταν θέλουμε να εκφράσουμε την απλή διαφορά ανάμεσα σε δύο ποσοστιαία στοιχεία.