Ένωση, τομή, διαφορά και συμπλήρωμα συνόλων

Με τα σύνολα μπορούμε να κάνουμε διάφορες πράξεις συνόλων. Στις πιο βασικές ανήκουν η ένωση, η τομή, η διαφορά και το συμπλήρωμα.

Ένωση συνόλων

Την ένωση συνόλων τη συμβολίζουμε με το σύμβολο ∪, δηλαδή την ένωση των συνόλων A και B τη γράφουμε κλασικά: A ∪ B. Από την ένωση των συνόλων A και B προκύπτει ένα νέο σύνολο, που θα περιέχει όλα τα στοιχεία του συνόλου A και επίσης όλα τα στοιχεία του συνόλου B. Ορισμός:

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

Ένα παράδειγμα: Έστω δύο σύνολα A = {1, 3, 5, 7} και B = {2, 4, 6}. Από την ένωση προκύπτει το σύνολο: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Το σύνολο που προκύπτει περιέχει τα στοιχεία και των δύο συνόλων.

Ένα ακόμα παράδειγμα: A = {1, 2, 3} και B = {2, 3, 4}. Με την ένωση παίρνουμε: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Τα στοιχεία 2 και 3 δεν θα υπάρχουν δύο φορές στο σύνολο που προκύπτει, επειδή ένα σύνολο δεν περιέχει το ίδιο στοιχείο περισσότερες φορές.

Άλλες ιδιότητες:

• A ∪ A = A: αν ενώσουμε δύο ίδια σύνολα, παίρνουμε πάλι το ίδιο σύνολο.
• A ∪ B = B ∪ A: η ένωση είναι αντιμεταθετική, η σειρά δεν έχει σημασία.
• A ∪ ∅ = A: το κενό σύνολο δεν περιέχει κανένα στοιχείο, άρα δεν έχει τίποτα να προσθέσει.

Τομή συνόλων

Από την τομή δύο συνόλων A και B προκύπτει ένα νέο σύνολο, που θα περιέχει τα στοιχεία που έχουν κοινά τα δύο σύνολα. Με περισσότερη ακρίβεια θα λέγαμε ότι το νέο σύνολο θα περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο A και ταυτόχρονα ανήκουν στο B. Την τομή τη συμβολίζουμε με το σύμβολο ∩. Ορισμός:

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

Παράδειγμα: A = {1, 3, 5, 7, 9} και B = {4, 5, 6, 7}. Η τομή είναι ίση με A ∩ B = {5, 7}. Ένα ακόμα παράδειγμα: A = {a, b, c, d, e} και B = {f, g, h, i, j}. Η τομή είναι ίση με: A ∩ B = ∅. Αυτά τα σύνολα δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο, άρα η τομή είναι το κενό σύνολο.

Άλλες ιδιότητες:

• A ∩ A = A: με την τομή δύο ίδιων συνόλων παίρνουμε πάλι το ίδιο σύνολο.
• A ∩ B = B ∩ A: η τομή είναι αντιμεταθετική, η σειρά δεν έχει σημασία.
• A ∩ ∅ = ∅: το κενό σύνολο δεν περιέχει κανένα στοιχείο, άρα σίγουρα δεν έχει κανένα κοινό στοιχείο με το σύνολο A.

Διαφορά συνόλων

Τη διαφορά συνόλων τη συμβολίζουμε με το συνηθισμένο σύμβολο του μείον − ή, καλύτερα, με ένα πλάγιο μείον ∖. Ως διαφορά δύο συνόλων A και B εννοούμε το σύνολο που θα περιέχει όλα τα στοιχεία του A και ταυτόχρονα δεν θα περιέχει κανένα στοιχείο του B. Με λίγα λόγια, κοιτάς ποια στοιχεία έχει το πρώτο σύνολο κοινά με το δεύτερο και αυτά μετά τα αφαιρείς. Ορισμός:

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

Παράδειγμα: A = {1, 2, 3, 4, 5} και B = {4, 5, 6, 7, 8}. Η διαφορά τότε θα είναι ίση με A ∖ B = {1, 2, 3}. Είναι τα στοιχεία που μένουν όταν από το σύνολο A αφαιρέσουμε όλα τα στοιχεία που είναι στο σύνολο B. Ένα ακόμα παράδειγμα: A = {a, b, d, e}. Η διαφορά A ∖ A = ∅.

Άλλες ιδιότητες:

• A ∖ A = ∅: όπως όταν αφαιρέσουμε δύο ίδιους αριθμούς παίρνουμε μηδέν (π.χ. 5 − 5 = 0), έτσι όταν αφαιρέσουμε δύο ίδια σύνολα, παίρνουμε το κενό σύνολο.
• A ∖ ∅ = A: το κενό σύνολο δεν περιέχει κανένα στοιχείο, άρα από το σύνολο A δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε κανένα στοιχείο.

Συμπλήρωμα συνόλου

Το συμπλήρωμα του συνόλου A συμβολίζεται με διάφορους τρόπους, αλλά πιθανώς συχνότερα με τόνο A' ή με πάνω γραμμή: $\bar{A}$. Για απλότητα θα χρησιμοποιώ τον τόνο. Για να υπολογίσουμε το συμπλήρωμα του συνόλου A, πρέπει να ξέρουμε σε ποιο σύνολο υπολογίζουμε το συμπλήρωμα. Το συμπλήρωμα ενός συνόλου αποτελείται από όλα τα στοιχεία που δεν είναι στο σύνολο A, άρα πρόκειται για κάποιο είδος αντίθετου του συνόλου A.

Αν ως βασικό σύνολο έχουμε το M = {1, 2, 3, …, 9, 10}, τότε το συμπλήρωμα του συνόλου A = {2, 4, 6, 8, 10} στο M είναι το σύνολο A' = {1, 3, 5, 7, 9}. Περιέχει όλα τα στοιχεία του M που δεν είναι στο A. Μπορούμε να πούμε ότι το A' στο M είναι ίσο με M ∖ A.

Αν ως βασικό σύνολο πάρουμε τους ακέραιους αριθμούς, τότε το συμπλήρωμα του συνόλου των άρτιων αριθμών θα είναι οι περιττοί αριθμοί. Το συμπλήρωμα του συνόλου A = {1, 2, 3, 4} θα είναι το σύνολο A' = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

Για το συμπλήρωμα ισχύει ότι αν το εφαρμόσουμε δύο φορές, παίρνουμε πίσω το αρχικό σύνολο. Για παράδειγμα στους ακέραιους: το συμπλήρωμα των άρτιων αριθμών είναι οι περιττοί αριθμοί. Και το συμπλήρωμα των περιττών αριθμών είναι πάλι οι άρτιοι. Άρα ισχύει A = A'' (συμπλήρωμα του συμπληρώματος του A).