Propiedades de las funciones

Una función es una regla que asigna a cada número x del dominio M exactamente un y del recorrido N. Normalmente escribimos la función en la forma y = f(x), o podemos expresarla de forma explícita f:y = x, donde la variable x es el argumento de la función.

Dominio y recorrido

De cada función tenemos que determinar también su dominio, que es el conjunto de todos los valores admisibles del argumento x, es decir, todos los valores que puede tomar la variable x. El dominio de la función f se escribe Dom f.

Un ejemplo sencillo: f:y = x; aquí el dominio es igual a todo el conjunto de los números reales, Dom f = ℝ. Otro ejemplo: $f:y=\frac{1}{x}$; en este caso el dominio es el conjunto de los números reales, pero esta vez excepto el cero, porque no se puede dividir entre cero y la expresión carecería de sentido, Dom f = ℝ ∖ {0}.

El recorrido es, por analogía, el conjunto de todos los y admisibles, es decir, el conjunto de todos los elementos a los que puede apuntar la función f. De nuevo un ejemplo sencillo: tomemos la función f:y = x. Aquí el recorrido es el conjunto ℝ, porque y puede alcanzar cualquier valor de este conjunto. Tomemos, en cambio, otra función, f:y = |x| (valor absoluto). Aquí el recorrido será igual al intervalo [0, +∞), porque nunca puede ocurrir que y sea igual, por ejemplo, a menos cinco, ya que eso no es posible por la definición del valor absoluto.

Si nos atenemos al concepto de aplicación del conjunto A en el conjunto B, entonces ten en cuenta que el conjunto A es el dominio y el conjunto B es el conjunto de llegada, al que la función aplica; el recorrido es un subconjunto suyo.

Monotonía de una función

La monotonía de una función es la propiedad que determina si la función es, en un intervalo dado, estrictamente creciente, estrictamente decreciente, decreciente en sentido amplio, creciente en sentido amplio, constante o ninguna de las anteriores.

Esta propiedad se lee mejor en la gráfica: si te parece que la gráfica baja, se trata de una función decreciente; si la función sube, es una función creciente. Qué fácil :-). Las definiciones serían estas: tenemos una función f y sean x₁, x₂ ∈ Dom f. Entonces decimos que

• la función f es estrictamente creciente si, cuando x₁ < x₂, entonces f(x₁) < f(x₂).
• la función f es estrictamente decreciente si, cuando x₁ < x₂, entonces f(x₁) > f(x₂). (La definición es igual, pero en el primer caso entre los valores de la función hay < y en el segundo >)

Observa la gráfica de la función estrictamente creciente f(x) = ln(x):

Vemos que cuando elegimos x₁, x₂ tales que se cumpla x₁ < x₂, entonces se cumple también que f(x₁) < f(x₂). Ahora observa otra gráfica, esta vez la de la función $f(x)=\frac{1}{x}$, que es estrictamente decreciente, por ejemplo, en el intervalo (0, +∞):

Aquí vemos que cuando x₁ < x₂, para los valores de la función se cumple, al contrario, f(x₁) > f(x₂). Aunque x₁ es menor que x₂, «produce» un valor de la función mayor.

Veamos también el resto de las definiciones:

• La función f es creciente en sentido amplio si, cuando x₁ < x₂, entonces f(x₁) ≤ f(x₂). (La definición es parecida a la de la función estrictamente creciente, solo que admitimos que la función tenga en cierto tramo un valor constante)
• La función f es decreciente en sentido amplio si, cuando x₁ < x₂, entonces f(x₁) ≥ f(x₂).
• La función f es constante si su recorrido es un conjunto de un solo elemento, es decir, si para cualesquiera dos x₁, x₂ se cumple que f(x₁) = f(x₂).

Un ejemplo de función decreciente en sentido amplio es la función f(x) = |x|−x:

Fíjate en que en el intervalo (−∞, 0) la función decrece, pero en el resto del intervalo la función tiene un valor constante (cero). En todo el dominio se trata, por tanto, de una función decreciente en sentido amplio.

Función par e impar

Algunas funciones pueden ser, bajo ciertas condiciones, pares o impares. Lo más sencillo es conocer la gráfica de la función, porque ahí se reconoce más rápido. La función par es simétrica respecto del eje y, mientras que la función impar es simétrica respecto del origen (0, 0). Un ejemplo de función par puede ser y = x² y una función impar es, por ejemplo, la función y = 2x. Las definiciones serían estas: la función f es

• par si para todo x ∈ Dom f se cumple que f(x) = f(−x),
• impar si para todo x ∈ Dom f se cumple que −f(x) = f(−x).

De las funciones pares e impares trata un artículo aparte, Funciones pares e impares.

Función inyectiva

Una función inyectiva se reconoce porque todos sus valores son distintos, ningún valor de la función se repite. Definición:

La función f es inyectiva si para todo x₁, x₂ ∈ Dom f se cumple que

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Si elegimos dos x distintos del dominio de la función, entonces los valores de la función en ellos tienen que ser siempre distintos.

Gráficamente se reconoce, como siempre, con total sencillez. Si trazas por la gráfica una recta paralela al eje x, debe cortar la gráfica como máximo en un punto. Un ejemplo de función inyectiva es la función lineal y = 3x. Cualquier recta que tomes corta siempre la gráfica exactamente en un punto. Lo contrario es, por ejemplo, la función seno, cuya gráfica forma una especie de ondas, de modo que si trazas una recta paralela al eje x que corte el eje y en el punto $\frac{1}{2}$, encontrarás infinitos puntos de corte con la gráfica, y por tanto no es una función inyectiva.

Función acotada

Las funciones pueden estar acotadas superiormente, acotadas inferiormente o acotadas tanto superior como inferiormente; a una función así la llamamos sencillamente función acotada. La función f está acotada superiormente si encontramos un número real A que es mayor que todos los valores de la función f. De forma análoga para la función acotada inferiormente. Las definiciones son, pues:

• La función f está acotada superiormente si existe A ∈ ℝ tal que para todo x ∈ Dom f se cumple que A > f(x).
• La función f está acotada inferiormente si existe A ∈ ℝ tal que para todo x ∈ Dom f se cumple que A < f(x).

Gráficamente podemos imaginarlo así: buscamos una recta paralela al eje x (es decir, una recta horizontal) que se encuentre por encima o por debajo de toda la gráfica de la función.

En la figura tenemos la gráfica de la función f(x) = x⁴, que está acotada inferiormente. Fíjate en que no hace falta encontrar el A «más cercano» a la gráfica; basta colocar la recta en cualquier lugar por debajo de la gráfica.

Mínimo y máximo

La función f tiene en el punto M del dominio un máximo si en ese punto M está el valor de la función más alto de todos los valores que toma la función. De forma análoga para el mínimo. Definición:

• La función f tiene en el punto M ∈ Dom f un máximo absoluto si se cumple que para todo x ∈ Dom f se cumple f(x) ≤ f(M); en pocas palabras, que el valor de la función es el más alto en el punto M. Si existe un único máximo, lo llamamos máximo estricto.
• La función f tiene en el punto m ∈ Dom f un mínimo absoluto si se cumple que para todo x ∈ Dom f se cumple f(x) ≥ f(m); el valor de la función es el más bajo en el punto m.

En la gráfica seguramente encontrarás el máximo y el mínimo de la función con bastante facilidad: basta mirar dónde está la función más abajo o más arriba. Por supuesto, la función no tiene por qué tener ni mínimo ni máximo, o puede tener solo mínimo o solo máximo; igualmente, la función puede tener solo extremos relativos, pero no tener ningún extremo en todo el dominio.

Si necesitas encontrar mínimos y máximos, usa las derivadas; el procedimiento exacto se describe en el artículo estudio de una función.

Ejemplo

Determina las propiedades de la función a partir de la siguiente gráfica:

• El dominio de esta función es el intervalo [−4, 4].
• El recorrido es el intervalo [−2, 4].
• La función parece que podría ser estrictamente creciente, pero en el tramo [0, 2] la función tiene un valor constante, así que estrictamente creciente no puede ser. Sin embargo, la función no decrece en ningún intervalo, por lo que es una función creciente en sentido amplio.
• La gráfica de la función no es simétrica respecto del eje y ni respecto del origen del sistema de coordenadas, por lo que la función no es ni par ni impar.
• ¿Es inyectiva la función? Ya se ha dicho que en el tramo [0, 2] la función tiene un valor constante, así que la función no puede ser inyectiva. Para x distintos tiene el mismo y.
• La función está acotada, tanto superior como inferiormente. Somos capaces de encontrar una recta horizontal que quede por encima de toda la gráfica y otra por debajo de toda la gráfica.
• La función dada tiene también mínimo y máximo. El mínimo lo tiene en el punto m = −4 y el máximo en el punto M = 4.