Suma y resta
La suma y la resta son las operaciones matemáticas más básicas, y las necesitamos también en la vida cotidiana. Aunque se pueden sumar muchas estructuras distintas, aquí nos ocuparemos solo de la suma de números enteros.
Suma
La operación de sumar se representa con el signo más +. Al sumar, juntamos sumandos: si queremos calcular 2 + 3, tanto el dos como el tres se llaman sumandos. El resultado es la suma, es decir, el cinco en la expresión 2 + 3 = 5 es la suma.
Podemos sumar prácticamente cualquier número, ya sean naturales como 1, 5, 157, o negativos como -4, -74. También podemos sumar números racionales, es decir, fracciones, números reales como π y, por último, incluso números complejos. Y se pueden sumar otras estructuras —matrices o vectores.
La suma se suele explicar con un montón de manzanas: si tienes tres manzanas en la cesta y alguien te da otras cuatro, ¿cuántas tendrás? Tendrás 3 + 4 = 7.
Cómo sumar números grandes
Si te pidiera sumar 17.564 y 3272, seguramente no darías el resultado de cabeza sin más. Por eso se usa una calculadora o lápiz y papel. No voy a enseñarte a teclearlo en la calculadora; centrémonos en el procedimiento en el papel.
Escribimos los números que queremos sumar uno debajo del otro y los alineamos a la derecha, de modo que las mismas posiciones (decenas, centenas, …) queden en la misma columna. Bajo los dos números trazamos una raya horizontal. Quedaría así:
Ahora sumamos los números que están en la misma columna. Si la suma es menor que diez, escribimos esa suma bajo la raya. Empezamos por la derecha, por la posición más pequeña. Así que primero sumamos 4 + 2, que es seis. Seis es menor que diez, así que bajo la raya escribimos el seis:
Seguimos y sumamos 6 + 7. Eso es 13, que ya es mayor que diez. Ahora bajo la raya escribimos solo la cifra de las unidades, es decir, escribimos el tres (a trece le quitamos una decena).
¿Qué ha pasado con ese uno que hemos quitado? ¿Qué representa? Ahora trabajamos con la segunda columna por la derecha, que en el número representa las decenas. En realidad hemos sumado decenas, es decir, hemos sumado 60 + 70 = 130. Nos hemos quedado con el 30 y hemos dejado el 100 para más tarde. ¿Para cuándo? Para el siguiente paso, la siguiente columna. En el paso siguiente llegamos a las cifras que corresponden a las centenas. Y nos sobra una centena que hemos obtenido al sumar las decenas. Lo más sencillo es sumar esa centena en el siguiente paso.
Así, en lugar de sumar 5 + 2 en el paso siguiente, sumaremos 5 + 2 + 1, donde ese uno representa la centena que hemos obtenido en el paso anterior (nos la «llevamos»). El resultado total es ocho, que es menor que diez. Escribimos entonces el ocho bajo la raya.
Al paso siguiente no pasa ningún millar de más, así que solo sumamos 7 + 3 = 10. Este número no es menor que diez, así que bajo la raya escribimos la última cifra y una se la llevamos al siguiente paso. Bajo la raya escribimos un cero y para el siguiente paso guardamos una decena de millar de más.
En la última columna solo hay cifra en la primera fila. En la segunda fila nos imaginamos un cero y sumamos 1 + 0, y no debemos olvidarnos de sumar el uno que nos llevábamos: 1 + 0 + 1 = 2. Bajo la raya escribimos el dos.
Con esto termina el algoritmo y tenemos la suma de los números 17564 + 3272.
Animación del procedimiento de la suma en el papel
En los siguientes cuadros puedes escribir dos números naturales y disfrutar de la animación de todo el procedimiento.
Representación gráfica de la suma
Podemos representar la suma gráficamente en la recta numérica. La recta numérica es una recta en la que están marcados todos los números. Puede tener este aspecto:
Si quisiéramos ilustrar en esta recta la suma de dos números, por ejemplo 3+4, procederíamos así: dibujaríamos un segmento que empezara en el origen, es decir, en el cero, y terminara en el tres. Al sumar, dirigimos el segmento hacia la derecha del punto donde hemos empezado. Así:
Ahora representamos el cuatro en la recta. Pero esta vez empezamos en el número tres y desde ahí trazamos hacia la derecha un segmento de longitud cuatro. Así:
El punto en el que termina el segundo segmento, el verde, representa el resultado final: 3 + 4 = 7.
Resta
La resta es la operación inversa de la suma. Si a un número a le sumas el número b y después le restas b, vuelves a obtener a. Veremos el procedimiento con el ejemplo 158.748 − 99.575. Igual que en la suma, escribimos estos números uno debajo del otro:
Bajo la raya escribiremos el resultado, igual que en la suma. Empezamos por la derecha, por las posiciones más pequeñas. Así que primero calculamos las unidades. Si la cifra de arriba no es menor que la de abajo, escribimos bajo la raya la diferencia cifra de arriba − cifra de abajo. (O al revés: si la cifra de abajo es menor o igual, podemos restar sin problema.) En las unidades la cifra de arriba no es menor, así que escribimos la diferencia 8 − 5 = 3.
Nos movemos una cifra a la izquierda y estamos en las decenas. Aquí la cifra de arriba sí es menor que la de abajo. Entonces sumamos diez a la cifra de arriba y hacemos el mismo cálculo: cifra de arriba + 10 − cifra de abajo. El resultado será 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
En las decenas nos hemos ayudado añadiendo diez decenas, así que tenemos que acordarnos en el paso siguiente. Diez decenas son una centena, así que en el paso siguiente restamos una centena más. Es decir, al cinco de abajo le sumamos el uno del paso anterior (nos lo «llevamos»).
En las centenas nos preguntamos, por tanto, si el siete (cifra de arriba) es menor que el seis (cifra de abajo + 1). No lo es, así que podemos hacer la resta normal, arriba menos abajo. Pero también aquí tenemos que sumar uno a la cifra de abajo, así que el resultado es 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
Al paso siguiente no llevamos nada: en este paso no hemos necesitado pedir prestado nada de las posiciones superiores. En los millares, por tanto, no sumamos nada a nada. Sin embargo, el ocho de arriba es menor que el nueve de abajo, así que tendremos que sumar diez a la cifra de arriba. Obtenemos la diferencia 8 + 10 − 9 = 9.
Al paso siguiente nos llevamos un uno, que sumamos a la cifra de abajo. Nueve más uno son diez, y el cinco de arriba es menor que diez. A la cifra de arriba le sumamos diez y hacemos la resta: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
De nuevo nos hemos ayudado de una posición superior, así que nos llevamos un uno al paso siguiente. Ahí abajo falta la cifra, así que suponemos un cero. Al sumarle el uno obtenemos uno. La cifra de arriba no es menor que la de abajo (ahora son iguales), así que podemos restar sin más: 1 − 1 = 0.
Y ya tenemos el resultado. El cero del principio podemos quitarlo y escribir: 158.748 − 99.575 = 59.173.
Representación gráfica de la resta
La resta, igual que la suma, se puede representar en la recta numérica. Lo único que cambia es la dirección del segmento. No dibujamos el segmento hacia la derecha del punto actual, sino hacia la izquierda. Así que si quisiéramos calcular 2 − 5, procederíamos así. Primero marcaríamos en la recta el dos, en sentido positivo, porque el dos es positivo. Restamos el cinco, que irá al revés.
Ahora dibujamos en la recta el segundo segmento, que representará el menos cinco. Empezamos en el punto donde hemos terminado, es decir, en el dos. Pero el segmento lo trazamos hacia atrás, hacia la izquierda.
