División de números
La división de números es la operación inversa de la multiplicación. Además, la división es una buena fuente de humor porque, como todo el mundo sabe, no se puede dividir entre cero, ya que se nos quemaría el cuaderno.
Qué es la división de números
La división podemos imaginarla como el reparto de un todo grande en trozos más pequeños del mismo tamaño. Puede ser que un padre necesite cortar una tabla de 100 cm de largo en cinco trozos iguales. ¿Qué longitud tendrá cada trozo?
Podemos proceder al revés: si sumamos las longitudes de los cinco trozos cortados, tiene que salirnos de nuevo el número 100. ¿Qué número lo cumple? Es el número 20, porque 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. En lugar de la suma podemos usar también la multiplicación. Podemos preguntarnos: ¿qué número multiplicado por cinco da cien? De nuevo el número 20, porque 5 · 20 = 100.
Gráficamente podríamos expresarlo como el reparto de un segmento de longitud 100 en cinco partes de la misma longitud:
Cuando queremos dividir el número 100 entre el número 5, averiguamos «cuántas veces cabe el cinco en el cien». La división se escribe con una barra: 100 / 5 o con dos puntos: 100 : 5. El resultado de dividir dos números es el cociente. En nuestros ejemplos, el número 20 es el cociente de los números 100 y 5. El número de la izquierda se llama dividendo y el de la derecha, divisor. La división también se puede escribir con una fracción: en lugar de 100 / 5 podemos escribir
- a se llama dividendo,
- b se llama divisor,
- c se llama cociente.
Definición mediante la multiplicación
El cociente se define de la forma más sencilla mediante la multiplicación. Como ejemplo tomemos el cociente de estos números: 35 / 7. ¿Cuál será el resultado? Buscamos un número que, multiplicado por 7, dé el número 35. Si dividiéramos 48 / 8, buscaríamos un número que, multiplicado por 8, diera el número 48.
El resultado de 35 / 7 es, por tanto, el número 5, porque 7 · 5 = 35. El resultado de 48 / 8 es el número 6, porque 8 · 6 = 48.
Si en general dividimos a / b, el resultado es el número c para el que se cumple b · c = a.
Aunque todos los ejemplos los hemos mostrado con números naturales, gracias a la definición mediante la multiplicación podemos dividir también cualquier otro número. Por ejemplo, podemos hallar el cociente −85,76 / 6,7 buscando el número x para el que se cumple 6,7 · x = −85,76. Esto se cumple para x = −12,8.
El cero se puede dividir entre otro número
El cero se puede dividir entre un número; esta expresión es válida: 0 / 15. En el fondo estamos diciendo que queremos repartir el cero en 15 partes iguales. Podemos imaginarlo así: no tenemos ninguna tarta y queremos repartir esa tarta que no tenemos en 15 partes. ¿Qué tamaño tendrá cada parte? Serán nulas, porque sencillamente no tenemos ninguna tarta. O imagina que tienes en la cartera cero euros y quieres repartir esos cero euros entre tres niños. ¿Cuánto le toca a cada niño? Nada de nada, porque sencillamente no tienes nada. Por eso 0 / 15 = 0.
El cero se puede dividir entre otro número, pero no se puede dividir otro número entre cero. Esta expresión no es válida: 8 / 0.
Pero ¿por qué no se puede dividir entre cero?
No se puede dividir entre cero porque nos lo prohíbe el undécimo mandamiento.
Pero también existen razones más contundentes. De momento nos interesa el caso en que el dividendo es distinto de cero: la división tiene la forma a / 0, donde a ≠ 0. Enumeremos dos razones:
- Quedémonos con la analogía del reparto de un todo en partes más pequeñas del mismo tamaño. Tenemos 15 dinosaurios, los más crueles. Ahora queremos repartirlos entre cero niños. ¿Cuántos dinosaurios le tocan a cada niño?
¿¿¿Eh???
Sí, lees bien el enunciado, y sí, no tiene sentido. No podemos preguntar cuántos dinosaurios ha recibido cada niño cuando no teníamos ningún niño al que dárselos. Por eso tampoco tiene sentido dividir entre cero y decimos que la expresión x / 0 no está definida.
- Hemos introducido la división mediante la multiplicación. Cuando intentamos dividir entre cero 15 / 0, buscamos un número x para el que se cumpla x · 0 = 15. Pero cualquier número por cero es cero, así que nunca encontraremos un x para el que esta ecuación tenga sentido.
¿Y qué pasa con el cociente 0/0?
Ese no está definido, igual que x / 0. Las razones:
Esta vez tenemos cero dinosaurios, los más crueles, que queremos repartir entre cero niños. Es de nuevo una exigencia absurda.
Según la definición de división, cuando dividimos 0 / 0, buscamos un número x para el que se cumpla x · 0 = 0. Encontraríamos solución o, más exactamente: cualquier número real es solución de esta ecuación. Si sustituimos x por 4, por 1 o por π, la ecuación se cumple. Naturalmente, es inadmisible que el resultado de una división sea todo el conjunto de los números reales; no tiene sentido.
Tendríamos que elegir de todo el conjunto un número concreto y decir que precisamente ese número es el resultado de la división 0 / 0. Pero ¿cuál? ¿Debería ser igual a uno? ¿A ocho? ¿A cero? ¿A menos uno? ¿Y por qué? Probemos a dar argumentos a favor del cero y del uno:
- Sabemos que, si tenemos una fracción de la forma x / x, esa fracción es igual a uno. Por ejemplo, 7 / 7 = 1 o 3 / 3 = 1. De ahí podríamos deducir que 0 / 0 deberíamos definirlo de modo que se cumpla 0 / 0 = 1.
- Fijémonos en esta sucesión de fracciones perfectamente válidas. En cada una de ellas dividimos el cero entre un número que se acerca cada vez más a cero:
Vemos que, por muy cerca de cero que esté el divisor, seguimos obteniendo cero como resultado del cociente. De ahí podríamos deducir que 0 / 0 = 0.
Ambos argumentos son válidos para definir el cociente 0 / 0. Pero ¿cuál de ellos es mejor? Al fin y al cabo, aunque eligiéramos uno y lo declaráramos el único válido, llegaríamos de todos modos a una contradicción con otras partes de las matemáticas.
Por eso es mejor dejar la división entre cero como no definida.
El argumento final contra la división entre cero
Si los argumentos anteriores no te bastan, quizá te convenza la siguiente documentación fotográfica de un caso en el que alguien intentó de verdad dividir entre cero:
