Arvosanojen keskiarvon laskeminen

Miten lasketaan koulussa saatujen arvosanojen keskiarvo? Näytetään ensin yksinkertainen tapa, jossa kaikilla arvosanoilla on sama painoarvo. Kuvittele, että saat viidestä kokeesta nämä arvosanat:

$$9,9,10,10,5$$

Tuo viimeinen koe sotki keskiarvon aika pahasti, vai mitä? Keskiarvon laskemiseksi lasketaan kaikki arvosanat yhteen:

$$9+9+10+10+5=43$$

Nyt jaetaan tulos arvosanojen lukumäärällä eli jaetaan viidellä:

$$\frac{43}{5}=8,6$$

Siinä kaikki. Keskiarvo on 8,6. Keskiarvo ei välttämättä osu täsmälleen johonkin arvosanaan. Jos olisit lukenut viimeiseen kokeeseen paremmin ja saanut kahdeksikon, summaksi tulisi

$$9+9+10+10+8=46$$

ja keskiarvo olisi

$$\frac{46}{5}=9,2$$

Todistukseen saisit silti todennäköisesti yhdeksikön.

Painotetut arvosanat kurssikokeissa

Joskus jotkin kokeet ovat tärkeämpiä kuin toiset. Esimerkiksi kurssikokeella voi olla kaksinkertainen painoarvo. Miten laskisimme keskiarvon, jos tavallisista kokeista olisi saatu arvosanat 9, 8, 5, 8 ja kurssikokeesta hieno kymppi? Jos arvosanalla on kaksinkertainen painoarvo, keskiarvo lasketaan tavalliseen tapaan, mutta kaksinkertaisen painoarvon arvosana lasketaan mukaan kahdesti. Lasketaan siis arvosanojen summa

$$9+8+5+8+10+10=50$$

Jaetaan se arvosanojen lukumäärällä, mutta kurssikoe lasketaan kahdeksi arvosanaksi. Meillä on neljä tavallista arvosanaa ja ”kaksi” arvosanaa kurssikokeesta. Jaetaan siis summa kuudella:

$$\frac{50}{6}=\mathrm{8,333}\dots$$

Keskiarvoksi tulee 8,333, mikä näyttää todistuksessa hienolta kasilta. Jos kurssikokeen painoarvo olisi kolminkertainen, laskisimme kympin mukaan kolme kertaa:

$$9+8+5+8+10+10+10=60$$

Ja jakaessa se laskettaisiin myös kolmeksi arvosanaksi, joten jakaisimme luvulla

$$\frac{60}{7}\approx 8,57$$

Keskiarvo olisi pyöristyksen jälkeen 8,57.

Yhdeksän miinus?

Mitä jos saat kokeesta yhdeksän miinuksen? Vaikea sanoa, miten se lasketaan, sillä ”miinus” ei tässä tapauksessa ole tarkka matemaattinen termi. Yleensä ”yhdeksän miinuksella” tarkoitetaan ”huonompaa yhdeksikköä”, ja suomalaisessa koulussa se muutetaan luvuksi tavallisesti niin, että miinus vähentää arvosanasta neljänneksen: 9− on 8,75 (vastaavasti 9+ on 9,25 ja 9½ on 9,5). Jos olemme siis saaneet arvosanat 10−, 9−, 9, 8, 10, lasketaan keskiarvo näin

$$9,75+8,75+9+8+10=45,5$$

ja jaetaan tavalliseen tapaan viidellä, koska arvosanoja on viisi:

$$\frac{45,5}{5}=9,1$$

Keskiarvo on 9,1. Jos miinusten lisäksi saat vielä huutomerkkejä, plussia tai en tiedä mitä, joudut kysymään muuntokaavaa koulustasi 🙃.

Vielä enemmän painotettuja arvosanoja

Mitä jos arvosanojen painoarvot olisivat vielä monimutkaisempia? Meillä voisi olla esimerkiksi nämä arvosanat: 5, 8, 8, 4, 5, ja ensimmäisellä arvosanalla olisi puolet painoarvosta, toisella kolmasosa, seuraavalla tavallinen painoarvo, seuraavalla kaksinkertainen ja seuraavalla 2,5-kertainen. Kirjoitetaan se taulukkoon, jotta se on selkeämpää:

Ensimmäisellä rivillä ovat painokertoimet ja toisella rivillä arvosanat. Keskiarvon laskemiseksi kerromme jokaisen arvosanan sen painokertoimella. Tulon tulos tallennetaan taulukon kolmannelle riville:

Nyt lasketaan kaikkien tulojen summa eli lasketaan yhteen kolmas rivi:

$$2,5+\frac{8}{3}+8+8+12,5=\mathrm{33,666}\dots$$

Seuraavaksi lasketaan kaikkien painokertoimien summa eli lasketaan yhteen taulukon ensimmäinen rivi:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+1+2+2,5=\mathrm{6,333}33\dots$$

Nyt otamme painotettujen arvosanojen summan ja jaamme sen painokertoimien summalla:

$$\frac{\mathrm{33,666}\dots }{\mathrm{6,333}33\dots }\approx 5,3$$

Keskiarvo on pyöristyksen jälkeen noin 5,3.

Katso myös

• Keskinopeuden laskeminen