Prosenttilaskenta

Prosentit ilmaisevat yleensä jonkin suhteellisen osan kokonaisuudesta, ja kokonaisuus itse ilmaistaan 100 %:na. Prosentit voi aina kirjoittaa murtolukuna.

Prosentti kokonaisuuden osana

Käytämme prosentteja, kun haluamme ilmaista jonkin kokonaisuuden osan. Prosenteilla voi korvata ilmaisuja kuten ”neljännes luokasta sai nelosen” tai ”joka toinen ihminen on mies”. Meillä on aina jokin kokonaisuus, esimerkiksi koko oppilasluokka, ja sitten sanomme, että neljännes heistä sai nelosen. Jos luokassa on 32 oppilasta ja neljännes heistä sai nelosen, nelosen saaneiden oppilaiden kokonaismäärä on:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{mikä on sama kuin}\frac{32}{4}=8$$

Toisena tapauksena voi olla kaupunki, sanotaan Seinäjoki. Siellä on noin 60 000 asukasta. Jos joka toinen asukas on mies, se tarkoittaa, että puolet heistä on miehiä, ja kirjoitamme sen:

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{mikä on sama kuin}\frac{60000}{2}=30000$$

Voisimme myös sanoa, että ”joka sadas ihminen Seinäjoella on matemaatikko”. Silloin Seinäjoella olisi $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$ matemaatikkoa. ”Joka sadas” on sama kuin ”yksi sadasosa asukkaista”.

Nyt voimme ottaa käyttöön käsitteen prosentti. Yksi prosentti, jota merkitään 1 %, tarkoittaa yhtä sadasosaa kokonaisuudesta. Se tarkoittaa, että kun sanomme ”joka sadas ihminen Seinäjoella on matemaatikko” ja ”yksi prosentti Seinäjoen asukkaista on matemaatikkoja”, sanomme saman asian. Yksi prosentti kokonaisuudesta lasketaan kertomalla kokonaisuus luvulla $\frac{1}{100}$ tai jakamalla luvulla 100, se on sama asia.

Prosentit voi helposti muuttaa murtoluvuiksi ja laskea niillä edelleen. Jos sanoisimme, että ”Seinäjoella x %:lla ihmisistä on tummat hiukset”, se on sama kuin sanoisimme ”Seinäjoella $\frac{x}{100}\cdot 60000$ ihmisellä on tummat hiukset”. 100 % on silloin kokonaisuus eli kaikki asukkaat. Lause ”100 % oppilaista pääsi seuraavalle luokalle” tarkoittaa, että kaikki oppilaat pääsivät. Lause ”0 % oppilaista jäi luokalle” kertoo, ettei kukaan jäänyt. Esimerkkejä:

1. 35 % Seinäjoen asukkaista matkustaa bussilla. Kuinka moni matkustaa bussilla? 35 % on sama kuin $\frac{35}{100}$ kokonaisuudesta (= ”kolmekymmentäviisi sadasosaa kokonaisuudesta”). Lasketaan siis: $\frac{35}{100}\cdot 60000$. Sen voi laskea yksinkertaisesti niin, että ensin jaetaan 60 000 sadalla ja tämä tulos kerrotaan luvulla 35. Käytännössä teemme tämän muunnoksen:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60000=\frac{35\cdot 60000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21000$$

   Sen voi kuvitella myös niin, että lasketaan ensin, montako asukasta vastaa yhtä prosenttia: $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$. Yhtä prosenttia vastaa 600 asukasta. Haluamme tietää 35 % asukkaista, joten nämä 600 asukasta kerrotaan enää luvulla 35 · 600 = 21 000.

2. Leevi ansaitsee keskimäärin 80 euroa päivässä. Tänään hän ansaitsi vain 75 % keskimääräisestä palkastaan. Kuinka paljon Leevi ansaitsi? Menetelmä on edelleen sama. Kokonaisuus on 80 ja 75 % muutetaan murtoluvuksi $\frac{75}{100}$. Tämän murtoluvun voi vielä supistaa murtoluvuksi $\frac{3}{4}$. Kerrotaan kokonaisuus tällä murtoluvulla:

   $$\frac{3}{4}\cdot 80=\frac{3\cdot 80}{4}=3\cdot 20=60$$

3. Seuraavana päivänä Leevi paikkasi edellisen päivän ja ansaitsi 150 % keskimääräisestä palkastaan. Kuinka paljon hän ansaitsi? Voiko prosentteja olla edes yli 100, kun sanoimme, että 100 % on kokonaisuus? Kyllä voi. Samoin kuin joku voi ansaita ”kolme kertaa enemmän rahaa kuin keskimäärin”, joku voi ansaita 150 % keskiarvostaan.

   Etenemme aivan samoin. Muutamme 150 %:n murtoluvuksi $\frac{150}{100}$ ja kerromme tällä murtoluvulla Leevin keskimääräisen palkan eli 80:n:

   $$\frac{150}{100}\cdot 80=\frac{150\cdot 80}{100}=\frac{150\cdot 4}{5}=30\cdot 4=120$$

Prosentti verrantona

Prosentteina ilmaistun osan kokonaisuudesta voi helposti muuttaa verrannoksi. Pysytään Leevissä, joka ansaitsee keskimäärin 80 euroa päivässä ja ansaitsi tänään 75 % keskimääräisestä palkastaan. Sen voi nimittäin kirjoittaa verrannolla näin:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 80\text{ euroa}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ euroa}\end{array}$$

Koska kyseessä on suoraan verrannollisuus, saamme muodon:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{80}$$

Kerrotaan yhtälö luvulla 80, ja saamme:

$$\frac{75\cdot 80}{100}=x$$

Ja siitä voi helposti laskea tuloksen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 80}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 4}{5}& =& x\\ x& =& 15\cdot 4\\ x& =& 60\end{array}$$

Näemme, että saimme saman luvun.

Entä jos tiedämme osan mutta emme kokonaisuutta?

Edellisissä esimerkeissä laskimme aina niin, että tiedämme kokonaisuuden tarkan arvon ja siitä pitää laskea tietty prosentteina annettu osa. Mutta entä jos tiedämmekin juuri osan emmekä kokonaisuutta? Esimerkki: Leevillä on 120 keräilykorttia, joissa on iso vihreä hirviö. Vaikka vihreitä hirviökortteja on kunnioitettava määrä, hänellä on silti vain kuusikymmentä prosenttia Ainon korttien määrästä. Kuinka monta korttia Ainolla on?

Tässä tiedämme osan mutta emme kokonaisuutta — se on vasta laskettava. Tässä vaiheessa tiedämme, että 120 korttia vastaa 60 % Ainon korteista. Jotta saisimme selville, montako korttia vastaa yhtä prosenttia, riittää jakaa nämä satakaksikymmentä kuudellakymmenellä. Saamme kakkosen 120/60 = 2. Yksi prosentti korteista on todellisuudessa kaksi vihreähirviökorttia. Koska laskemme kokonaisuutta — ja se on aina 100 % — kerromme tämän korttien määrän sadalla. Ja saamme 200 korttia, mikä on oikea tulos.

Voimme tarkistaa sen laskemalla 60 % luvusta 200: kerrotaan yksinkertaisesti

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Näemme, että 60 % luvusta 200 on 120, mikä on täsmälleen Leevin vihreähirviökorttien määrä.

Prosenttien yhteenlasku

Kun on laskettava tehtävä, jossa esiintyy prosentteja, on aina parasta laskea prosenttien sijasta tarkat arvot ja laskea ne sitten yhteen. Tehtävänanto voisi siis kuulua vaikkapa näin: Elias ansaitsee 1 500 euroa kuukaudessa, Onni 2 000 ja Venla 2 500 euroa. Laske nyt, kuinka paljon ansaitsee Emma, joka ansaitsee 30 % Eliaksen palkasta plus 40 % Onnin palkasta plus 25 % Venlan palkasta.

Tässä meillä on kolme prosenttilauseketta, mutta jokainen lauseke tulee eri kokonaisuudesta. Elias, Onni ja Venla ansaitsevat kukin eri summan. Lasketaan siis ensin 30 % Eliaksen palkasta. Se on 1 500/100 = 15. Seuraavaksi kerrotaan 15 · 30 ja saadaan 450. Seuraavaksi on vuorossa 40 % Onnin palkasta. Se on 2 000/100 = 20. Taas kerrotaan luvulla 40, ja meillä on 20 · 40 = 800. Viimeinen osa on 25 % Venlan palkasta. Hän ansaitsee 2 500, josta yksi prosentti on 2 500/100 = 25. Kertomalla 25:llä saadaan 25 · 25 = 625. Nyt vain lasketaan kaikki osatulokset yhteen: 450 + 800 + 625 = 1 875. Emma ansaitsee 1 875 euroa, mikä on aika kiva palkka.

Voi kuitenkin käydä niin, että todella laskemme prosentteja yhteen. Prosentteja voi laskea yhteen vain, jos niillä on sama pohja, sama kokonaisuus. Jos siis esimerkiksi Aleksi ansaitsisi 20 % siitä, mitä Onni, plus 30 % siitä, mitä Onni, voimme laskea nämä prosentit yhteen, koska kyseessä on sama pohja — molemmat lausekkeet lasketaan Onnin peruspalkasta. Tulos on siis 20 % + 30 % = 50 %. Aleksi ansaitsee puolet siitä, mitä Onni, tuhat euroa.

Salakavala prosenttien peräkkäinen yhteenlasku

Kuvittele nyt seuraava tilanne: Onni ansaitsi ensimmäisenä vuonna 2 000 euroa kuukaudessa. Toisena vuonna hän sai palkankorotuksen ja hänen palkkaansa nostettiin 30 %. Seuraavana, kolmantena vuonna hän sai taas palkankorotuksen ja palkkaa nostettiin jälleen, vaikka tällä kertaa vain 10 %. Kysymys kuuluu, mikä Onnin palkka on nyt?

Tämäntyyppinen tehtävä houkuttelee suunnattomasti laskemaan prosentit yhteen samoin kuin edellisessä tapauksessa. Onhan pohja edelleen — näennäisesti — sama, Onnin palkka. Lasketaan siis 30 % + 10 % ja lisätään se hänen peruspalkkaansa. Onni ansaitsisi siten 2 800 euroa. Mutta niin se ei ole. Käydään se läpi.

Ensimmäisenä vuonna hän sai 2 000. Toisena vuonna hän sai 2 000 + 30 %. Se on 2 600, kuten varmasti jo itse laskit. Ja nyt seuraavana vuonna hänen palkkaansa nostettiin kymmenellä prosentilla. Mutta huomaa! Pohja ei enää ole se kaksituhatta, joka hänellä oli ensimmäisenä vuonna. Pohja on jo kaksituhatta kuusisataa! Ja kuten tiedämme, prosentteja voi laskea yhteen vain, jos nämä prosentit lasketaan samasta pohjasta. Meidän tapauksessamme pohja on eri. Ensin se oli 2 000 ja nyt se on 2 600. Viimeisenä vuonna Onni sai siis 2 600 + 10 %, mikä on 2 860.

Ratkaisu 2 800 oli väärä, ja lisäksi olisimme huijanneet Onni-parkaa 60 eurolla. Älä ole Onnille ilkeä!

Osta matematiikan oppikirja alennuksella!

Klassinen esimerkki on myös alennus. Kuvittele, että kaupassa on matematiikan oppikirja, jonka haluaisit kovasti joulupukilta syntymäpäivälahjaksi. Mitä muutakaan sitä muka haluaisit, eikö niin? :-)

Ennen joulua kirjan hintaa kuitenkin nostetaan 20 %. Päätät, että odotat ja ostat sen vasta joulun jälkeen. Teit hyvin, koska kauppa laski kirjan hintaa juhlien jälkeen 20 %. Kysymys kuuluu — maksaako kirja saman verran kuin ennen hinnankorotusta? Vai maksaako se enemmän vai vähemmän?

Joidenkin ihmisten maalaisjärki sanoo taas, että kirja maksaa saman verran, mutta se ei ole totta. Lasketaan. Sanotaan, että kirja maksoi 50 euroa. 20 %:n hinnankorotus tarkoittaa, että kirjan hinta nousi $\frac{20}{100}\cdot 50=10$ eurolla. Kirja maksoi siis 60 euroa.

Mutta 20 %:n alennusta ei enää lasketa pohjasta 50 vaan pohjasta 60! Se tarkoittaa, että kirjan hinta laskee $\frac{20}{100}\cdot 60=12$ eurolla. Alennuksen jälkeen kirja maksaa 48 euroa.

(Mutta totta puhuen, kuka ostaisi matematiikan oppikirjan, kun käytössäsi on Matikka selväksi ;-))

Promille

Promilleja käytetään useimmin mitattaessa kuljettajan veren alkoholipitoisuutta. Jotkut ihmiset luulevat virheellisesti, että promille on prosentin tuhannesosa, mutta se on virhe, varo sitä. Promille on tuhannesosa kokonaisuudesta. Muuten promilleilla lasketaan aivan samoin kuin prosenteilla. Jos haluat selvittää, paljonko x promillea luvusta 5 000 on, lasket sen $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. Sadan sijasta murtoluvun nimittäjässä on 1 000. Kolme promillea luvusta 5 000 on siis $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Promillea merkitään symbolilla ‰. Pätee siis $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Lisää promilleista on omassa artikkelissaan.

Prosenttien kirjoitusasu

Suomessa luvun ja prosenttimerkin väliin kirjoitetaan välilyönti: ”100 %”. Kun lukuun liitetään taivutuspääte, se kirjoitetaan prosenttimerkkiin kaksoispisteellä ilman välilyöntiä: ”100 %:n”, ”25 %:a”, ”20 %:lla”. Kannattaa muistaa tämä kirjoittaessa ja käyttää välilyöntiä myös promillemerkin kanssa: ”15 ‰”.

Prosenttiyksikkö

Tavallisten prosenttien lisäksi voi olla myös prosenttiyksiköitä. Mikä ero niillä on? Kuvittele, että Firefox-selainta käytti kaksi vuotta sitten 20 % ihmisistä, mutta tänä vuonna sitä käyttää jo 30 % ihmisistä. Kuinka suuri kasvu näiden kahden vuoden välillä on? Olisi virhe sanoa, että kasvu on 10 %. Jos Firefoxia käytti ensin 20 % ihmisistä ja sitten 30 %, se tarkoittaa, että sitä käyttää nyt puolet enemmän ihmisiä kuin ennen. Se tarkoittaa 50 %:n kasvua.

Mutta on taas vähän hankalaa sanoa, että kasvu on 50 %, kun kaikille olisi selkeämpää sanoa, että prosenttiluku nousi kymmenellä. Juuri sitä varten ovat prosenttiyksiköt. Tässä tapauksessa voimme sanoa, että Firefox-selaimen käytön kasvu on kymmenen prosenttiyksikköä. Prosenttiyksiköitä voi käyttää silloin, kun halutaan ilmaista kahden prosenttiluvun yksinkertainen erotus.