Propriétés d’une fonction

Une fonction est une règle qui, à chaque nombre x de l’ensemble de définition M, associe exactement un y de l’ensemble image N. On écrit en général une fonction sous la forme y = f(x), ou on peut l’exprimer explicitement par f : y = x, où la variable x est l’argument de la fonction.

Ensemble de définition et ensemble image

Pour chaque fonction, il faut aussi déterminer son ensemble de définition, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les valeurs admissibles de l’argument x, autrement dit toutes les valeurs que peut prendre la variable x. L’ensemble de définition de la fonction f se note ${\mathcal{D}}_f$.

Exemple simple : pour f : y = x, l’ensemble de définition est tout l’ensemble des réels, ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}$. Autre exemple : $f:y=\frac{1}{x}$. Ici l’ensemble de définition est l’ensemble des réels privé de zéro, car on ne peut pas diviser par zéro, l’expression n’aurait alors pas de sens : ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$.

L’ensemble image se définit de manière analogue : c’est l’ensemble de toutes les valeurs admissibles de y, c’est-à-dire l’ensemble de tous les éléments vers lesquels la fonction f peut pointer. Encore un exemple simple : prenons la fonction f : y = x. Son ensemble image est ℝ, car y peut prendre n’importe quelle valeur de cet ensemble. Prenons maintenant une autre fonction, f : y = |x| (valeur absolue). Son ensemble image sera l’intervalle [0 ; +∞[, car y ne pourra jamais être égal, par exemple, à moins cinq, ce qui est impossible par définition de la valeur absolue.

Si l’on s’en tient à la notion d’application de l’ensemble A vers l’ensemble B, sache que l’ensemble A est l’ensemble de définition, et que l’ensemble B est l’ensemble d’arrivée vers lequel la fonction envoie ; l’ensemble image en est un sous-ensemble.

Monotonie de la fonction

La monotonie d’une fonction est la propriété qui indique si la fonction est, sur un intervalle donné, strictement croissante, strictement décroissante, croissante, décroissante, constante, ou aucune de ces situations.

Cette propriété se lit le mieux sur le graphe : si la courbe descend, la fonction est décroissante ; si elle monte, la fonction est croissante. Rien de plus simple :-)

Donnons les définitions. Soit une fonction f et soient $x_1,x_2\in {\mathcal{D}}_f$. On dit alors que :

• la fonction f est strictement croissante si, pour x₁ < x₂, on a f(x₁) < f(x₂) ;
• la fonction f est strictement décroissante si, pour x₁ < x₂, on a f(x₁) > f(x₂). (La définition est la même, mais dans le premier cas on a < pour les images, et dans le second >.)

Regarde le graphe de la fonction strictement croissante f(x) = ln(x) :

On voit que si l’on choisit x₁, x₂ tels que x₁ < x₂, alors on a aussi f(x₁) < f(x₂). Regarde maintenant un autre graphe, celui de la fonction $f(x)=\frac{1}{x}$, qui est strictement décroissante par exemple sur l’intervalle ]0 ; +∞[ :

Ici, on voit que si x₁ < x₂, les images vérifient au contraire f(x₁) > f(x₂). Bien que x₁ soit plus petit que x₂, il « produit » une image plus grande.

Voici encore les autres définitions :

• la fonction f est croissante si, pour x₁ < x₂, on a f(x₁) ≤ f(x₂). (La définition ressemble à celle de la fonction strictement croissante, mais on admet qu’une fonction reste constante sur une partie de l’intervalle.)
• la fonction f est décroissante si, pour x₁ < x₂, on a f(x₁) ≥ f(x₂) ;
• la fonction f est constante si son ensemble image est un singleton, autrement dit si pour deux x₁, x₂ quelconques on a f(x₁) = f(x₂).

Exemple de fonction décroissante au sens large : f(x) = |x|−x :

Remarque que sur l’intervalle ]−∞ ; 0[ la fonction décroît, mais sur le reste de l’ensemble de définition elle est constante (égale à zéro). Sur tout l’ensemble de définition, c’est donc une fonction décroissante.

Fonction paire et impaire

Certaines fonctions peuvent être, sous certaines conditions, paires ou impaires. Le plus simple est de connaître le graphe, c’est là qu’on le voit le plus vite. Une fonction paire est en effet symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, alors qu’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine (0 ; 0). Un exemple de fonction paire est y = x², et une fonction impaire est par exemple y = 2x. Les définitions sont les suivantes : la fonction f est

• paire si, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$, on a f(x) = f(−x) ;
• impaire si, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$, on a −f(x) = f(−x).

Les fonctions paires et impaires font l’objet d’un article à part, Fonctions paires et impaires.

Fonction injective

On reconnaît une fonction injective au fait que toutes ses images sont uniques : aucune image ne se répète. Définition :

La fonction f est injective si, pour tous $x_1,x_2\in {\mathcal{D}}_f$, on a :

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Si l’on choisit deux valeurs différentes de x dans l’ensemble de définition de la fonction, leurs images doivent toujours être différentes.

Graphiquement, on le voit très simplement. Si tu fais passer une droite parallèle à l’axe des abscisses à travers la courbe, elle doit couper le graphe en au plus un point. Un exemple de fonction injective est la fonction linéaire y = 3x : quelle que soit la droite horizontale choisie, elle coupe le graphe en exactement un point. À l’inverse, la fonction sinus, dont le graphe forme une sorte d’ondulations, a une infinité de points d’intersection si l’on trace une droite parallèle à l’axe des abscisses qui coupe l’axe des ordonnées au point $\frac{1}{2}$ ; ce n’est donc pas une fonction injective.

Fonction bornée

Les fonctions peuvent être majorées, minorées, ou bien les deux à la fois ; on dit alors simplement qu’elles sont bornées. La fonction f est majorée s’il existe un nombre réel A supérieur à toutes les images de f. Il en va de même pour une fonction minorée. Voici donc les définitions :

• la fonction f est majorée s’il existe A ∈ ℝ tel que, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$, on a A > f(x) ;
• la fonction f est minorée s’il existe A ∈ ℝ tel que, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$, on a A < f(x).

Graphiquement, on peut se représenter cela en cherchant une droite parallèle à l’axe des abscisses (donc une droite horizontale) qui se trouve au-dessus ou en dessous de tout le graphe.

Sur la figure, on a le graphe de la fonction f(x) = x⁴, qui est minorée. Remarque qu’il n’est pas nécessaire de trouver un A qui soit « le plus proche » du graphe : il suffit de placer la droite n’importe où en dessous du graphe.

Minimum et maximum

La fonction f a en un point M de son ensemble de définition un maximum si la valeur de la fonction en ce point M est la plus élevée parmi toutes les valeurs que prend la fonction. Il en va de même pour le minimum. Définitions :

• la fonction f admet en $M\in {\mathcal{D}}_f$ un maximum global si, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$, on a f(x) ≤ f(M) : autrement dit, la valeur de la fonction est la plus élevée au point M. S’il existe un unique maximum, on l’appelle maximum strict ;
• la fonction f admet en $m\in {\mathcal{D}}_f$ un minimum global si, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$, on a f(x) ≥ f(m) : la valeur de la fonction est la plus petite au point m.

On trouve assez facilement le maximum et le minimum d’une fonction sur son graphe : il suffit de regarder où la fonction est la plus basse ou la plus haute. Une fonction n’a cependant pas forcément de minimum ni de maximum ; elle peut n’avoir qu’un minimum ou qu’un maximum. De même, elle peut avoir seulement des extrema locaux, sans aucun extremum sur tout l’ensemble de définition.

Si tu dois trouver des minima et des maxima, utilise les dérivées ; la procédure exacte est décrite dans l’article étude de fonction.

Exemple

Détermine les propriétés de la fonction d’après le graphe suivant :

• L’ensemble de définition de cette fonction est l’intervalle [−4 ; 4].
• L’ensemble image est l’intervalle [−2 ; 4].
• La fonction semble croissante, mais sur l’intervalle [0 ; 2] elle a une valeur constante, elle ne peut donc pas être strictement croissante. Cependant, elle ne décroît sur aucun intervalle : c’est donc une fonction croissante (au sens large).
• Le graphe n’est symétrique ni par rapport à l’axe des ordonnées, ni par rapport à l’origine, donc la fonction n’est ni paire ni impaire.
• La fonction est-elle injective ? Nous avons déjà vu qu’elle a une valeur constante sur [0 ; 2] : elle ne peut donc pas être injective. Pour des valeurs différentes de x, on a la même valeur de y.
• La fonction est bornée : elle est à la fois majorée et minorée. On peut trouver une droite horizontale qui passe au-dessus de tout le graphe et une autre qui passe en dessous de tout le graphe.
• La fonction a aussi un minimum et un maximum. Elle a un minimum au point m = −4 et un maximum au point M = 4.