Racine carrée et racines n-ièmes

La racine est une fonction réciproque partielle de la puissance. On travaille le plus souvent avec la racine carrée, qui cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne le nombre dont on a pris la racine.

Racine carrée

Pour la racine, on utilise le symbole $\sqrt{}$. Pour ne pas avoir à écrire l’argument de la racine entre parenthèses, comme ceci : $\sqrt{}$(25), on trace un trait horizontal au-dessus de l’expression entière dont on prend la racine, ainsi : $\sqrt{25}$.

Au début, nous ne nous occuperons que de la racine carrée d’un nombre réel. On la définit ainsi :

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Si l’on multiplie la racine de a par la racine de a, on obtient a. Ainsi, pour le nombre 9, la racine vaut 3, car 3 · 3 = 9.

L’égalité précédente peut aussi s’écrire ainsi :

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

C’est simplement une autre écriture de la multiplication précédente, à l’aide d’une puissance.

L’essentiel est que cette égalité ne vaut que pour les a appartenant à l’ensemble de définition de la racine. En effet, on ne peut pas prendre la racine d’un nombre négatif. On peut prendre la racine de n’importe quel nombre positif, et celle de zéro, mais pas celle d’un nombre négatif. Pourquoi ?

Supposons que l’on veuille calculer la racine de −25. On a en principe deux possibilités pour choisir le nombre : soit positif, soit négatif. Si l’on choisit un nombre positif, on a 5 · 5 = 25. On a bien obtenu 25, mais nous voulons −25. Essayons donc avec −5 ; or, après multiplication, on retrouve encore 25. En bref, si l’on multiplie deux nombres négatifs, on obtient un nombre positif, comme pour deux nombres positifs. Il faudrait multiplier −5 · 5 pour obtenir −25, et c’est impossible : on multiplie deux nombres différents, même s’ils ne diffèrent que par le signe. C’est pourquoi on ne peut pas calculer la racine d’un nombre négatif.

Racines n-ièmes

De même qu’on peut élever une expression au carré, au cube, à la puissance quatre, on peut aussi considérer les racines troisième, quatrième et enfin n-ième d’un nombre réel. On l’écrit généralement avec l’indice placé dans le signe radical, ainsi :

$$\sqrt[5]{32}$$

Cette écriture désigne la racine cinquième de trente-deux. On définit la racine n-ième à l’aide de la puissance n-ième :

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in {\mathbb{N}}^{\ast },a,b\ge 0$$

Si l’on remplace n par deux, on retrouve la racine carrée telle que nous l’avons définie juste avant. On pourrait aussi la définir plus brièvement ainsi :

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Par convention, on n’écrit pas le deux pour la racine carrée : ces deux écritures sont donc équivalentes :

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Par exemple, pour la racine quatrième, on aurait :

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

Un exemple concret :

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Et réciproquement, 4 · 4 · 4 = 64.

Racine d’un nombre négatif

Nous savons déjà qu’il n’existe pas de racine carrée d’un nombre négatif, car a², où a est un réel, n’est jamais négatif. Cependant, pour les racines d’ordre supérieur, on ne multiplie pas seulement deux fois, donc la racine n-ième d’un nombre négatif peut exister dans certains cas. Qu’en est-il donc ?

Ce qui nous gênait, c’est que la multiplication de deux nombres négatifs donne un nombre positif. Pour obtenir −25, il fallait le produit −5 · 5. Mais que se passe-t-il si l’on multiplie trois nombres négatifs ? Après la multiplication des deux premiers, on obtient un nombre positif. Mais après la multiplication par le dernier nombre négatif, on retrouve un nombre négatif. Si l’on multipliait encore une fois (quatre fois au total), on revient aux nombres positifs.

On en tire la leçon suivante : si l’on multiplie n fois un nombre négatif, le produit est positif lorsque n est pair et négatif lorsqu’il est impair. On en déduit qu’il existe une racine n-ième d’un nombre négatif lorsque n est impair. Exemple :

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Conversion en puissance

On peut facilement convertir les racines en puissances, et on le fait souvent, car elles sont ensuite plus faciles à manipuler. On a la relation suivante :

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

La racine n-ième de a est la même chose que a élevé à la puissance 1/n. Cela peut aussi te servir lorsque tu dois saisir quelque part une racine d’ordre supérieur à deux. Souvent, ça ne marche pas directement, mais tu peux saisir une fraction dans l’exposant. Si tu veux tracer le graphe de la racine quatrième, trace le graphe de la fonction

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Le plus souvent, on utilise la conversion de la racine carrée :

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Formules pour les racines

Comme on peut facilement convertir une racine en puissance, les expressions avec racines héritent des formules des puissances générales. On a donc les relations suivantes :

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

On a aussi les relations de base suivantes :

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Simplification d’une racine

Pour simplifier une racine, on utilise l’une des formules précédentes :

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

En effet, certaines expressions sous le radical peuvent être décomposées en produit, puis écrites comme deux racines, et enfin l’une de ces racines peut être calculée. Un exemple typique est le suivant :

$$\sqrt{4x}$$

D’après la formule précédente, on peut réécrire cette expression ainsi :

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

On peut maintenant calculer la racine de quatre :

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

De même, on peut réécrire un nombre ordinaire si l’on veut garder la forme exacte. Par exemple :

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$