Multiplication
La multiplication est une opération arithmétique fondamentale, que l’on rencontre couramment.
Qu’est-ce que la multiplication
On note la multiplication avec un point médian ou avec une croix. Si l’on veut écrire trois fois sept, on écrira 3 · 7 ou 3 × 7. Parfois, à la place du signe de la croix, on utilise simplement la lettre x : 3 x 7.
On peut facilement ramener la multiplication des entiers naturels, c’est-à-dire des nombres 1, 2, 3, …, à une addition. Prenons l’exemple 4 · 6 = ?, quatre fois six. Dans le langage courant, on pourrait dire : « va quatre fois voir Lucas et, à chaque fois, donne-lui six gifles ». Combien de gifles cela fait-il au total ? La première fois, on lui donne six gifles, la deuxième fois aussi, la troisième fois aussi et la quatrième fois aussi. Au total, on lui a donné 6 + 6 + 6 + 6 = 24 gifles. Pour ne pas devoir toujours écrire autant de nombres identiques à additionner, on a inventé la multiplication : au lieu de 6 + 6 + 6 + 6, quand on veut additionner quatre fois six, on peut simplement écrire 4 × 6.
Remarque qu’il importe peu qu’on additionne quatre fois six ou six fois quatre : on obtient toujours le même résultat.
Le résultat d’une multiplication s’appelle le produit : on dit « le produit des nombres 4 et 6 est 24 » ou « le produit de 4 par 6 est 24 ». Les nombres que l’on multiplie, dans ce cas 4 et 6, s’appellent les facteurs.
Représentation graphique de la multiplication
On peut représenter graphiquement la multiplication comme l’aire d’un rectangle. Restons sur l’exemple 4 · 6. On crée un rectangle dont un côté mesure 4 et l’autre côté 6. Le rectangle ressemble à ceci :
Maintenant, calculons l’aire de ce rectangle, c’est-à-dire comptons tous les petits carrés qui se trouvent à l’intérieur.
On voit qu’il y a exactement 24 carrés. Pourquoi ? Parce qu’on a empilé quatre fois six carrés les uns sur les autres : le résultat est donc de nouveau la somme 6 + 6 + 6 + 6 = 24.
Multiplication par zéro
Si l’on multiplie n’importe quel nombre par zéro, le résultat est de nouveau zéro. L’explication est simple : si l’on reste sur les exemples précédents, cela revient à dire « va zéro fois voir Lucas et, à chaque fois, donne-lui six gifles ». Lucas s’en tire cette fois sans mal : il devait certes recevoir six gifles, mais pas une seule fois.
On peut aussi le montrer graphiquement. Le dessin représentant le produit 5 · 0 ressemble à ceci :
Comme le second facteur vaut zéro, un côté du rectangle a une longueur nulle : le rectangle devient un segment qui n’a aucune aire.
Priorité de la multiplication
La multiplication a la priorité sur l’addition et la soustraction. Cela signifie que dans l’expression 2 + 3 · 4, on calcule d’abord le produit 3 · 4 = 12 et seulement ensuite la somme. Une fois le produit calculé, on a 2 + 12, ce qui vaut 14.
Si l’on calculait d’abord la somme, on obtiendrait un autre résultat : 2 + 3 = 5, puis 5 · 4 = 20. Ce résultat est faux.
Il en va de même pour la soustraction : 10 − 8 · 2 + 7 se calcule comme s’il y avait des parenthèses : 10 − (8 · 2) + 7. Donc : 10 − 16 + 7 = 1.
Attention aux pièges que l’on voit souvent sur Facebook. On y trouve des exemples comme 1 + 1 + 1 · 0 = ?. Beaucoup de gens voient la multiplication par zéro et écrivent immédiatement que le résultat est zéro, mais c’est faux. Comme la multiplication a la priorité, l’exemple équivaut à 1 + 1 + (1 · 0) = ?.
On calcule d’abord la parenthèse : 1 + 1 + 0 = ?, puis on additionne : 1 + 1 + 0 = 2. Le bon résultat est 2, et non 0.
Le plus traître, c’est que si tu as une calculatrice assez simple, elle affiche elle aussi zéro. Pourquoi ? Parce que sur les calculatrices simples, on ne saisit pas toute l’expression d’un coup, mais pas à pas, et la calculatrice travaille avec un résultat intermédiaire. Si tu tapes 1 + 1 + 1 · 0 sur une telle calculatrice, elle calcule d’abord 1 + 1 = 2, puis 2 + 1 = 3, car elle ne retient que le résultat intermédiaire 2, et enfin 3 · 0 = 0. La calculatrice a donc en réalité calculé (((1 + 1) + 1) · 0).
Certaines calculatrices savent gérer la priorité, d’autres permettent de saisir l’expression entière d’un coup et la calculent correctement. Si la tienne ne sait pas le faire, garde-le en tête.
Tu peux lire un article séparé sur la priorité de la multiplication.
Tables de multiplication
Pour la suite des calculs, il est utile de retenir toute la table de multiplication, c’est-à-dire tous les produits de nombres inférieurs à 11.
Voici d’abord la table de un à cinq :
Et maintenant, de six à dix :
Chapitres: Multiplication, Multiplication posée, Multiplication de nombres négatifs
