Addition, soustraction, multiplication et division de fractions

Une fraction permet d'écrire n'importe quel nombre rationnel. Une fraction se compose de deux parties. La partie du haut s'appelle le numérateur et celle du bas le dénominateur. Il existe aussi la fraction à étages, c'est-à-dire une fraction qui contient une autre fraction au numérateur ou au dénominateur. Et au fait, tous les signes placés entre des fractions (plus, moins, égal, etc.) s'écrivent toujours au niveau de la barre de fraction, et non au niveau du numérateur ni du dénominateur. Et d'ailleurs, sais-tu que cinq personnes sur quatre ont du mal avec les fractions ?

Informations de base

Une fraction a la forme suivante :

$$\frac{\text{numérateur}}{\text{dénominateur}}$$

Un exemple de fraction est la fraction

$$\frac{2}{5},$$

soit deux cinquièmes. Le dénominateur s'appelle ainsi parce qu'il donne son nom à la fraction. Cinquième, tiers, sixième… : c'est le nom principal de la fraction, dérivé du nombre situé sous la barre de fraction. Le numérateur, lui, indique le nombre de parts : dans l'exemple précédent, il s'agit de deux cinquièmes. Voilà pour les noms.

Au numérateur comme au dénominateur, on peut en principe mettre n'importe quel nombre, ou encore une fraction, mais on rencontre le plus souvent une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers naturels.

Une fraction n'est qu'une autre écriture de la division : la valeur d'une fraction s'obtient en divisant le numérateur par le dénominateur. Ainsi, pour une fraction $\frac{a}{b}$, sa valeur est le nombre a/b. La fraction précédente (deux cinquièmes) a donc pour valeur 2/5, soit 0,4.

Mise sous forme irréductible

On peut manipuler les fractions et changer leur forme, en multipliant ou en divisant leur numérateur et leur dénominateur par un même nombre, sans que leur valeur change. On peut aussi s'en rendre compte facilement avec des mots : une moitié a la même valeur que deux quarts ou que quatre huitièmes. Cela tient au fait qu'une fraction n'est qu'une division déguisée. On peut d'ailleurs obtenir une moitié en divisant plusieurs couples de nombres différents : quatre divisé par huit donne une moitié, dix divisé par vingt aussi. C'est pourquoi les fractions

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

ont la même valeur.

Comme on le voit, on a obtenu les autres fractions de même valeur en multipliant par deux le numérateur et le dénominateur de 1/2. Après cette multiplication, on obtient 2/4, deux quarts. Si l'on multiplie par deux le numérateur et le dénominateur de cette fraction, on obtient 4/8, quatre huitièmes. Dans ces cas, on a multiplié le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

L'opération inverse est la simplification : on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Pour simplifier une fraction, il faut trouver un nombre qui divise sans reste à la fois le numérateur et le dénominateur. La simplification est très utile en pratique, car elle rend la fraction beaucoup plus simple à manier. Prenons la fraction 12/18 : d'un coup d'œil, on voit que les deux nombres sont pairs, donc divisibles par deux. On pourrait évidemment simplifier par deux, mais en regardant de plus près, on constate que le numérateur et le dénominateur sont aussi divisibles par six. Si l'on simplifie par six, on obtient une fraction plus simple que si l'on n'avait simplifié que par deux. C'est pourquoi on simplifie par six. On obtient 2/3.

Cette fraction ne peut plus être simplifiée : il n'existe aucun nombre (supérieur à un) qui divise sans reste à la fois le numérateur et le dénominateur. On dit alors qu'elle est sous sa forme irréductible. Essaie toujours de travailler avec des fractions sous forme irréductible : avant de faire un calcul, regarde d'abord si certaines fractions ne peuvent pas être simplifiées. Tu gagneras du temps. Encore un exemple :

$$\frac{24}{42}$$

Par quel nombre 24 et 42 sont-ils divisibles en même temps ? Ce sont deux nombres pairs, donc divisibles par deux à coup sûr. Divisons le numérateur et le dénominateur par deux :

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Existe-t-il un nombre qui divise à la fois les deux nombres ? Oui, cette fois, c'est trois.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Existe-t-il encore un nombre qui divise le numérateur et le dénominateur ? Non, la fraction est sous forme irréductible.

Multiplication de fractions

Tu seras peut-être surpris, mais la multiplication et la division de fractions sont plus simples que l'addition et la soustraction. Si tu dois multiplier deux fractions, tu multiplies simplement le numérateur de la première par le numérateur de la seconde, et le dénominateur par le dénominateur. C'est tout. Exemple de multiplication de fractions :

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Lors d'une multiplication de fractions, il existe en plus une autre façon de simplifier : tu n'es pas obligé de simplifier uniquement à l'intérieur d'une seule fraction, tu peux aussi simplifier avant de multiplier, en croix. Si l'on peut simplifier le numérateur de la première fraction avec le dénominateur de la seconde, tu peux le faire et ainsi simplifier la multiplication. Exemple (les nombres simplifiés sont mis en évidence) :

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Qu'avons-nous fait ? Nous avons divisé le quatre et le huit par quatre. La valeur du produit n'a pas changé. Si nous n'avions pas simplifié tout de suite, nous aurions pu le faire après la multiplication.

On ramène simplement la multiplication d'une fraction par un entier à la multiplication de deux fractions, en écrivant l'entier c sous la forme c/1 :

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

On voit ainsi que, pour multiplier une fraction par un entier, il suffit de multiplier le numérateur de la fraction par cet entier.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Division de fractions

La division de fractions est pratiquement la même chose que la multiplication. Pour diviser une fraction par une autre, on retourne la seconde (le diviseur) et on multiplie normalement les fractions. Un exemple simple de division de fractions (remarque qu'après avoir retourné la fraction, on peut simplifier 12 et 6) :

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

On a donc ramené la division à une multiplication : on a retourné la fraction $\frac{6}{11}$ pour obtenir $\frac{11}{6}$, puis on l'a multipliée par la première fraction, qui n'a pas changé. Pourquoi cela fonctionne-t-il ? Il suffit de le voir sur un exemple plus simple, par exemple la division par une moitié. Si l'on divise

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

que fait-on exactement ? On cherche combien de fois une moitié tient dans dix. Dans chaque unité, une moitié tient exactement deux fois (deux fois une moitié font un), donc dans dix, elle tient vingt fois. On arrive au même résultat en multipliant deux par dix, ce qui fait aussi vingt. Et quelle valeur obtient-on si l'on retourne une moitié ? Deux sur un, c'est-à-dire deux.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

On obtient donc :

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Addition de fractions

L'addition de fractions est un peu plus compliquée. On ne peut en effet additionner des fractions que si elles ont le même dénominateur. Si ce n'est pas le cas, il faut les mettre au même dénominateur. Ensuite, on procède simplement comme pour la multiplication : on additionne les numérateurs. Mais, contrairement à la multiplication, on conserve le même dénominateur. Commençons par un exemple d'addition de fractions de même dénominateur :

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Cela a du sens, n'est-ce pas ? Une moitié plus cinq moitiés font six moitiés, ce qui est assez logique.

Si les fractions n'ont pas le même dénominateur, ce qui est le cas le plus fréquent, il faut les mettre au même dénominateur, c'est-à-dire multiplier le numérateur et le dénominateur d'une ou des deux fractions par un même nombre, afin d'obtenir le même dénominateur. Calculons la somme de ces deux fractions :

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

La première a trois au dénominateur, la seconde deux. On ne peut pas les additionner telles quelles, mais si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par deux, son dénominateur devient six ; si l'on multiplie par trois la seconde, son dénominateur devient aussi six. Les deux fractions ont alors le même dénominateur et l'on peut les additionner facilement. Donc, dans une première étape, on met les fractions au même dénominateur :

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Il ne reste plus qu'à additionner les numérateurs et à garder le même dénominateur :

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Attention : lors d'une addition, on ne peut pas simplifier en croix entre les fractions comme dans une multiplication. Par exemple, après la transformation, nous avions six au dénominateur de la première fraction et quinze au numérateur de la seconde. Pourtant, on ne peut pas simplifier par trois :

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Cette simplification ne serait permise que si l'on multipliait ces fractions :

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Comment mettre deux fractions au même dénominateur, dans le cas général ? On multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde, et ceux de la seconde par le dénominateur de la première. En écrivant cela de manière générale :

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

On a multiplié la première fraction par d, qui est le dénominateur de la seconde. La seconde fraction a été multipliée par b, le dénominateur de la première. Exemple concret :

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

On a multiplié le numérateur et le dénominateur de la première fraction par huit, ceux de la seconde par quatre. Après cela, on peut additionner les fractions.

La formule générale de l'addition de fractions s'écrit alors ainsi :

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Soustraction de fractions

La soustraction de fractions se fait exactement comme leur addition, à la différence près que l'on soustrait les numérateurs au lieu de les additionner. La formule générale de l'addition devient donc :

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Voici un exemple concret. On commence par les mettre au même dénominateur :

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Il ne reste plus qu'à soustraire les numérateurs et à garder le même dénominateur :

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Produit en croix

Dans le cas des équations, on peut utiliser le produit en croix, qui simplifie l'égalité de deux fractions. En pratique, ce n'est rien d'autre que deux transformations équivalentes de l'équation donnée. Considérons donc une équation comportant deux fractions :

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

On peut transformer cette équation en la multipliant par le dénominateur de la première fraction, puis par celui de la seconde. On multiplie d'abord l'équation par le dénominateur de la première fraction, c'est-à-dire par l'expression b. On obtient

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

On multiplie ensuite l'équation par d et l'on obtient

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

Dans la première fraction, on simplifie par b, et dans la seconde par d. On obtient l'équation

$$ad=bc.$$

On peut donc retenir cela comme une formule : si une équation se présente sous la forme de deux fractions, on peut la transformer ainsi :

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Voici un exemple. Dans une première étape, on écrit les fractions selon la formule précédente ; dans une seconde étape, il suffit de transformer légèrement les expressions de chaque côté.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

On résoudrait ensuite l'équation comme une équation du second degré classique, mais cela sort du cadre de cet article.

Sujets liés

Les fractions interviennent souvent dans la simplification d'expressions : l'article fractions rationnelles leur est consacré. Il existe aussi un algorithme pour la division de polynômes par un polynôme.