Les arrondis

L’arrondi consiste à simplifier des nombres peu commodes en nombres plus jolis. Par exemple, le nombre 98 est inutilement compliqué : on pourrait le simplifier en un beau nombre, 100.

Des nombres proches

Le but de l’arrondi est de prendre un nombre exact, mais trop compliqué, et d’en faire un nombre de valeur voisine, plus simple. Il n’est en général pas nécessaire de savoir qu’une voiture roule à 61,49 km/h ; il nous suffit de savoir qu’elle roule à 60 km/h. Ce procédé, qui consiste à remplacer 61,49 par 60, s’appelle l’arrondi.

Le principe de l’arrondi

Commençons par arrondir les nombres à la dizaine. Cela signifie que le résultat doit être divisible par dix sans reste. Le nombre 57 ne l’est pas, mais 80 ou 150 le sont. Tous les multiples de dix ont un zéro à la place des unités (le dernier chiffre).

Il s’agit maintenant de savoir vers quel nombre arrondir 57. On procède bien sûr selon la proximité : quels sont les nombres divisibles par dix les plus proches ? En principe, il y a deux candidats : un nombre inférieur à 57 et un nombre supérieur à 57. Le premier nombre inférieur à 57 et divisible par dix est 50. De l’autre côté, on obtient 60.

Or 57 est plus proche de 60 que de 50, car la distance entre 60 et 57 est 3 (60 − 57) et la distance entre 57 et 50 est 7 (57 − 50). Donc 57 arrondi à la dizaine vaut 60. Le nombre 60 est le multiple de dix le plus proche.

Que se passe-t-il si l’on doit arrondir 55 à la dizaine ? Ce nombre est à égale distance de 50 et de 60, puisque la distance est de 5 dans les deux cas. Dans ce cas, on arrondit vers le haut, c’est-à-dire vers le plus grand nombre. On arrondit donc 55 à 60. (Parfois, notamment pour des raisons techniques, on utilise d’autres méthodes.)

Les règles d’arrondi

Nous supposons de nouveau un arrondi à la dizaine.

On peut en principe arrondir de deux façons. La première est l’arrondi vers le bas, c’est-à-dire qu’on diminue le nombre initial. On arrondit vers le bas lorsque le dernier chiffre est compris entre 0 et 4. Par exemple, 23 s’arrondit à 20, car le dernier chiffre est un 3. 54 s’arrondit à 50, car le dernier chiffre est un 4. 80 reste 80. Attention, on n’arrondit surtout pas 80 à 70 : lorsqu’il y a un zéro, le nombre ne change pas.

La seconde façon est l’arrondi vers le haut, qui augmente le nombre initial. On arrondit vers le haut lorsque le dernier chiffre est compris entre 5 et 9. Ainsi, 19 s’arrondit à 20, 56 à 60 et 88 à 90. On arrondit aussi vers le haut lorsque le nombre se termine par 5 : 15 s’arrondit à 20, 75 à 80, etc.

Si le nombre se termine par 0, 1, 2, 3 ou 4, on arrondit vers le bas. S’il se termine par 5, 6, 7, 8 ou 9, on arrondit vers le haut.

Arrondir selon le rang

Jusqu’ici, nous n’avons arrondi qu’à la dizaine. Nous pouvons toutefois choisir n’importe quel autre rang : un rang désigne les dizaines, les centaines, les milliers, etc.

Arrondir un nombre aux centaines signifie que le résultat doit être divisible par cent sans reste. Le nombre 1 853 n’est pas divisible par cent, le nombre 7 200 l’est. Il en va de même pour les autres rangs. De tels nombres se reconnaissent à leur nombre de zéros finaux : un multiple de dix se termine par au moins un zéro (il peut en avoir davantage, 7 200 est évidemment aussi divisible par dix), un multiple de cent par deux zéros, un multiple de mille par trois zéros, etc.

Pour arrondir un nombre aux centaines, on cherche donc le multiple de cent le plus proche. Ainsi, 389 s’arrondit à 400, car 400 est plus proche de 389 que 300.

Les règles pour arrondir selon le rang

Le procédé est pratiquement le même que pour les dizaines, sauf qu’on ne regarde pas le dernier chiffre du nombre, mais le premier chiffre qui doit être nul dans le résultat.

Pour les dizaines, c’est le premier chiffre en partant de la droite ; pour les centaines, le deuxième chiffre en partant de la droite ; pour les milliers, le troisième chiffre en partant de la droite, etc.

Essayons ce procédé avec 6 482, que nous arrondissons aux centaines. Le résultat doit se terminer par au moins deux zéros, on regarde donc le deuxième chiffre en partant de la droite. C’est le chiffre 8. Le chiffre 8 indique qu’il faut arrondir vers le haut. On augmente donc de un le troisième chiffre en partant de la droite, c’est-à-dire le 4, et l’on remplace les deux derniers chiffres par des zéros : on obtient 6 500. C’est le plus proche multiple de cent supérieur.

Essayons maintenant d’arrondir le même nombre, 6 482, aux milliers. Le résultat doit avoir ses trois derniers chiffres nuls. On regarde le troisième chiffre en partant de la droite, c’est-à-dire le 4. Il indique qu’il faut arrondir vers le bas. Le quatrième chiffre en partant de la droite, c’est-à-dire le 6, ne change pas ; on remplace simplement les trois derniers chiffres par des zéros, et l’on obtient 6 000.

Nombres décimaux

On peut aussi arrondir des nombres décimaux, toujours selon le rang choisi. Par exemple, le nombre 96,6 peut être arrondi à l’unité : on obtient 97. Il en va de même pour les nombres plus petits. Prenons le nombre 0,327. Si l’on veut l’arrondir aux centièmes, on regarde le troisième chiffre après la virgule : c’est un 7, il faut donc arrondir vers le haut, et l’on obtient 0,330. Pour les nombres décimaux, il n’est pas nécessaire d’écrire les zéros finaux : 3,200 est égal à 3,2. Le résultat précédent peut donc s’écrire 0,33. Si l’on voulait arrondir le nombre initial aux dixièmes, le résultat serait 0,3.

Arrondis successifs

Lorsqu’on arrondit un nombre à un certain rang, on regarde seulement le rang immédiatement inférieur. On ne procède pas en arrondissant successivement à tous les rangs. Prenons le nombre 746. Si on l’arrondit aux centaines, on obtient 700, car on regarde le deuxième chiffre en partant de la droite, qui est 4, et on arrondit vers le bas.

Mais on pourrait théoriquement arrondir d’abord le nombre à la dizaine, ce qui donne 750, car le chiffre 6 indique un arrondi vers le haut. Puis arrondir ensuite aux centaines : on obtiendrait 800 et non 700, puisque l’on arrondit désormais selon le chiffre 5 et non selon le chiffre 4.

Cette méthode s’appelle les arrondis successifs ; on ne l’utilise en général pas, car elle est plus longue et moins précise.