Dérivée d’une fonction

La dérivée est une notion de base du calcul différentiel. Elle joue un rôle important, par exemple pour l’étude des variations d’une fonction ; d’un côté elle est détestée par les élèves, de l’autre même un singe suffisamment entraîné sait calculer une dérivée. Cet article ne fait que décrire et expliquer la définition de la dérivée et les notions liées. Tu trouveras des exemples résolus dans les articles voisins : exemples simples sur les dérivées et exemples plus difficiles. Le processus inverse de la dérivation est l’intégration.

Qu’est-ce que la dérivée ?

Avant d’arriver à la définition de la dérivée, voyons ce que la dérivée nous permet de calculer et à quoi cela peut servir.

La dérivée d’une fonction nous donne le coefficient directeur de la tangente. Cela fait beaucoup de gros mots d’un coup, alors reprenons depuis le début. Pour dire les choses simplement, la tangente est une droite qui touche la courbe en un seul point. Ce n’est pas une définition précise (tu la trouveras par exemple sur Wikipédia), mais cela suffit à peu près. Regarde maintenant la figure suivante :

La courbe noire est la courbe représentative de la fonction y = x². La droite bleue est la tangente à cette fonction au point D(1 ; 1), marqué en rouge. En vert est indiqué l’angle α que forme la tangente avec l’axe des abscisses, plus précisément avec le demi-axe des abscisses positives. Définissons maintenant le coefficient directeur de la tangente. Dans cette figure, le coefficient directeur de la tangente est la tangente de l’angle alpha. La tangente est une fonction trigonométrique classique, qui permet par exemple de calculer des angles et des longueurs de côtés dans un triangle. Le coefficient directeur de la tangente est donc la tangente de l’angle que cette droite forme avec le demi-axe des abscisses positives. Et ce coefficient, on l’obtient justement avec les dérivées.

On distingue ensuite la dérivée d’une fonction en un point (le nombre dérivé) et la dérivée d’une fonction (la fonction dérivée). Le nombre dérivé représente justement le coefficient directeur de la tangente en ce point. La fonction dérivée est une autre fonction, qui donne le coefficient directeur pour une valeur quelconque de x. Un exemple suit.

Motivation

Grâce à la dérivée, on sait donc calculer les coefficients directeurs des tangentes. À quoi cela peut-il servir ? Regarde la figure suivante :

La figure montre de nouveau la fonction y = x² et quatre tangentes tracées. Deux vertes et deux bleues. Remarque que la fonction y = x² est strictement décroissante sur l’intervalle ]−∞ ; 0[, alors qu’elle est strictement croissante sur ]0 ; +∞[. Mais que peut-on dire en même temps des tangentes, c’est-à-dire de l’angle qu’elles forment avec le demi-axe positif ? Les tangentes bleues, qui passent par des points de l’intervalle où la fonction croît, forment avec l’axe un angle inférieur à 90 degrés. Les tangentes vertes, elles, forment avec l’axe un angle supérieur à 90 degrés. Comment cela se traduit-il sur les coefficients directeurs des tangentes ?

Pour cela, il faut connaître le comportement de la fonction tangente. Le graphique suivant nous apprend que si l’angle mesure moins de 90 degrés, la valeur de la tangente est strictement positive (partie surlignée en bleu) ; au contraire, si l’angle est supérieur à 90 degrés mais inférieur à 180 degrés (c’est-à-dire inférieur à π radians), la valeur de la tangente est strictement négative. Quelle conclusion peut-on en tirer ? Si le coefficient directeur de la tangente en un point (n’oublie pas que le coefficient directeur est justement la tangente de l’angle) est strictement positif, alors la fonction est strictement croissante en ce point ; s’il est strictement négatif, elle est strictement décroissante.

Définition

Avant d’arriver à la définition de la dérivée elle-même, il nous faut faire un long chemin. Et nous aurons besoin de la limite d’une fonction. Si tu ne maîtrises pas les limites, retourne-y ou passe directement aux formules ; la suite ne sera sans doute pas pour toi.

Avant de passer au coefficient directeur de la tangente elle-même, arrêtons-nous sur celui de la sécante, ce qui sera plus simple. Une sécante est une droite qui coupe la courbe en deux points. Essayons de déduire comment calculer ce coefficient directeur. Regarde la figure :

On y voit la courbe de la fonction x² + 1 et une sécante s qui coupe la courbe en deux points (0,5 ; 1,25) et (2 ; 5). Ces points sont marqués en bleu. Comme les valeurs concrètes ne nous intéressent guère, elles sont indiquées sur le graphique de façon générale : a et b ainsi que f(a) et f(b). Ici, f(a) est la valeur de la fonction f en x = a. Ainsi, la valeur de notre fonction x² + 1 en x = 2 est 2² + 1 = 5.

Il s’agit maintenant de déduire comment calculer l’angle noté alpha, c’est-à-dire l’angle que forme la sécante avec l’axe des abscisses. Modifions d’abord un peu la figure pour y faire apparaître un triangle, ce sera plus pratique pour travailler.

Qu’avons-nous fait ? Nous avons relié par un segment les points où la sécante coupait la courbe de la fonction y = x² + 1 et nous les avons complétés en un triangle rectangle ABC. En quoi cela nous aide-t-il ? L’angle noté β a en effet la même mesure que l’angle α (ce sont des angles correspondants). Or nous connaissons les longueurs des côtés AB et BC. On a AB = b − a (c’est simplement la distance du point b au point a). De même, la longueur BC = f(b) − f(a). Comment calcule-t-on maintenant la mesure de l’angle β, c’est-à-dire α ?

Il faut savoir comment se calcule la tangente. La tangente est le rapport du côté opposé au côté adjacent, donc la tangente de l’angle alpha (bêta) est égale au rapport de la longueur du côté BC à celle du côté AB. Écrivons-le :

$$\tan (\beta )=\frac{BC}{AB}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Comme le coefficient directeur est la tangente de l’angle, cette formule nous donne le coefficient directeur de la sécante. Mais comment cela nous aide-t-il à calculer celui de la tangente ? Imagine que nous rapprochions les points A et C jusqu’à ce qu’ils se confondent. La figure illustre ce rapprochement :

Plus on rapproche le point d’intersection du haut de celui du bas, plus la sécante est proche de devenir une tangente. La sécante de départ, la droite CA, était loin d’être une tangente. Quand on rapproche le point C du point A, on obtient par exemple la sécante C₁A, qui ressemble déjà davantage à une tangente. La sécante C₂A lui ressemble encore plus, et ainsi de suite.

Quand la sécante devient-elle une tangente ? Au moment où les deux points d’intersection n’en font plus qu’un, c’est-à-dire quand on aurait C_n = A pour un certain point C_n. À ce moment, la sécante est devenue une tangente, ce que nous voulions. La question est de savoir comment calculer le coefficient directeur, car on ne peut pas simplement soustraire ces deux points, puisqu’ils sont identiques :

$$\tan (\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Cela ne marche pas, on ne peut pas calculer comme cela. Ce n’est pas pour rien que nous avons seulement rapproché ces points. Nous aurons en effet besoin d’une limite. Nous voulons maintenant calculer le coefficient directeur de la tangente au point de coordonnées (a ; f(a)) et nous disposons des coefficients directeurs de toutes les sécantes possibles (nous savons déjà les calculer). Nous allons donc calculer peu à peu les coefficients directeurs de sécantes que nous rapprocherons pour obtenir une tangente. Nous allons donc rapprocher b de a. On ne peut pas rapprocher les points jusqu’à ce qu’ils soient égaux, mais on peut les rapprocher de sorte que leur différence tende vers zéro. Voilà, une limite. Nous rapprochons donc b de a jusqu’à ce qu’ils soient égaux à la limite. Nous calculons donc la limite quand b tend vers a. C’est tout, la formule s’écrit :

$$\tan (\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Cette limite s’appelle la dérivée (ou nombre dérivé) de la fonction f(x) au point x = a. Je te rappelle que l’angle α est égal à l’angle β. En général, on n’utilise pas les variables a et b, mais on cherche la dérivée au point x₀ et on s’en approche avec le point x. On peut alors écrire :

$$\tan (\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Pour l’instant, comme pour la continuité d’une fonction, nous avons défini la dérivée en un seul point. Si la fonction f(x) est dérivable sur un intervalle ouvert I, alors les valeurs de cette dérivée définissent une fonction f′(x), que l’on appelle la fonction dérivée.

On note la dérivée avec un signe prime en exposant, comme ceci :

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

On peut aussi rencontrer une autre forme d’écriture, avec dx :

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

Dans la formule que nous venons d’utiliser, on peut donc remplacer la tangente par la notation de la dérivée :

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

On peut aussi définir la dérivée à droite ou à gauche à l’aide des limites à droite et à gauche. Nous ne nous en occuperons pas pour l’instant, ce n’est pas si important.

Une autre définition

Une autre définition de la dérivée d’une fonction en un point s’écrit ainsi :

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Comment arrive-t-on à une telle définition ? Il suffit de modifier un peu la figure dont nous sommes partis. On peut en effet exprimer la distance du point a au point b par h = b − a. Du coup, on peut écrire le point b sous la forme a + h, puisque h est justement la distance de b à a. La figure ressemblerait à ceci :

En bas, on a les points a et a + h, sur l’axe des ordonnées f(a) et f(a + h). On construit de nouveau un triangle et on calcule la tangente de l’angle bêta. La seule différence est que la longueur du côté AB est déjà calculée : c’est justement h.

Dérivée finie et infinie

Il y a aussi des dérivées finies et infinies, comme pour les limites de fonctions. Qu’est-ce que cela veut dire ? La dérivée est finie si sa valeur en un point est égale à un nombre réel. La dérivée est infinie si elle est égale à plus ou moins l’infini. Comment se l’imaginer géométriquement ? Quand le coefficient directeur est-il « infini » ? Commençons par une question plus facile : à quoi ressemble une tangente dont le coefficient directeur est égal à un grand nombre ? D’après le graphique de la fonction tangente (voir plus haut), si la valeur de la tangente est élevée, alors l’angle se rapproche de 90 degrés (si l’on se déplace dans l’intervalle ]0 ; 180[).

On pourrait en conclure que si la fonction a en un point une dérivée infinie, alors la tangente forme avec l’axe des abscisses un angle droit : elle lui est perpendiculaire. Et c’est bien le cas. À quoi pourrait ressembler la courbe d’une telle fonction, et en quel point la tangente serait-elle perpendiculaire à l’axe des abscisses ? Par exemple la fonction $y=\sqrt[3]{x}$ :

Propriétés de base

• Pour qu’une fonction ait une dérivée en un point, elle doit être définie sur un voisinage de rayon ε de ce point. Si ce voisinage n’existait pas, on ne pourrait pas calculer les limites par lesquelles la dérivée est définie.

• L’unicité de l’existence (ou de la non-existence) des limites implique que si la dérivée existe en un point, elle est unique. Aucune fonction n’a plusieurs dérivées en un même point. Soit une seule, soit aucune.

• Comme pour les limites à gauche et à droite, si une fonction a une dérivée en un point, alors la dérivée à gauche et la dérivée à droite doivent être égales.

• On a parfois besoin de la dérivée seconde. Rien de compliqué : on dérive la fonction une première fois, puis on dérive le résultat une seconde fois. On la note avec deux signes prime : f''(x) = (f'(x))'.

• Propriété importante : si une fonction a une dérivée en un point, alors elle est continue en ce point. Cela découle de nouveau des propriétés des limites. Attention, la réciproque est fausse. Si une fonction est continue en un point, cela ne veut pas dire qu’elle y est dérivable. Un exemple typique est la fonction f(x) = |x|. Sa courbe a un point anguleux, et on ne peut pas calculer le coefficient directeur de la tangente en ce point. Tu peux essayer de calculer la dérivée à gauche et à droite, elles seront différentes.

  

• On peut aussi calculer certaines limites à l’aide des dérivées, avec la règle de L’Hôpital.

Pour aller plus loin

Dans l’article voisin, tu trouveras la liste des formules de dérivation. D’autres figurent sur Wikipédia.

Tu peux aussi consulter les exemples de dérivées résolus, puis éventuellement les exemples de dérivées plus difficiles.

Si tu as besoin de vérifier rapidement un calcul de dérivée, tu peux utiliser un outil mathématique, comme Wolfram|Alpha. Il suffit de taper dans le champ de saisie, par exemple, « derive x^2+6x » et Wolfram te calculera la dérivée de la fonction donnée.