Exemples d’introduction sur les dérivées

Dans cet article, nous allons d’abord voir quelques formules utiles pour travailler avec les dérivées, puis nous essaierons de dériver quelques fonctions, simples et plus compliquées. Si tu ne cherches pas des exemples résolus mais que tu as besoin d’une explication de la définition de la dérivée, rends-toi sur l’article dérivée d’une fonction.

Dérivée des polynômes

Commençons par quelques formules dont nous aurons besoin pour calculer les dérivées de fonctions de la forme d’un polynôme. À gauche se trouve la fonction élémentaire que nous voulons dériver, à droite la fonction obtenue après dérivation. Précisons que c est une constante (dès la première ligne, on a donc la fonction constante) et que l’on dérive par rapport à x.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c\cdot x^{c-1}\end{array}$$

Quelques exemples concrets :

$$f(x)=5$$

C’est une fonction constante, nous appliquons donc la première formule et obtenons :

$$f^{\prime }(x)=0.$$

La fonction affine f(x) = x a, d’après la deuxième formule, pour dérivée

$$f^{\prime }(x)=1,$$

il n’y a rien de plus à étudier là-dessus. Essayons donc de dériver la fonction

$$f(x)=x^5.$$

Nous appliquons la dernière formule, où nous remplaçons c par l’exposant, c’est-à-dire c = 5.

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

La formule fonctionne aussi pour un exposant négatif : si nous voulons dériver la fonction

$$f(x)=x^{-7},$$

nous obtenons :

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Pour aller plus loin, il nous faudra les formules pour l’addition et la multiplication de fonctions. Et si nous voulions retrouver la fonction de départ à partir de la fonction dérivée, nous utiliserions les intégrales.

Dérivée d’une somme

Si nous voulons calculer la dérivée d’une fonction qui contient des termes en somme, il suffit de calculer les dérivées des termes et de les additionner. Nous l’écrivons ainsi :

$$(f_1(x)+f_2(x){)}^{\prime }=f_1^{\prime }(x)+f_2^{\prime }(x)$$

Un exemple simple : soit la fonction f(x) = x + 5. Sa dérivée est :

$$f^{\prime }(x)=x^{\prime }+5^{\prime }=1+0=1.$$

Nous avons décomposé la fonction en deux fonctions, ainsi :

$$\begin{array}{rcl}{f}_1(x)& =& x\\ f_2(x)& =& 5\end{array}$$

et nous n’avons eu qu’à appliquer la formule. C’est-à-dire que nous avons calculé les dérivées des fonctions f₁ et f₂ et additionné les résultats. Cela fonctionne de la même façon pour la soustraction. Un exemple plus compliqué :

$$f(x)=x^3+x-8$$

Là encore, nous dérivons simplement les trois termes un par un et nous les laissons en somme :

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+x^{\prime }-8^{\prime }=3x^2+1+0$$

Dérivée d’un produit

Hélas, le produit ne se traite pas aussi simplement qu’une addition ordinaire : pour le produit de deux fonctions, il faut utiliser une formule un peu compliquée :

$$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

Une fonction triviale qui contient une multiplication est par exemple la fonction

$$s(x)=5\cdot x^2$$

Dans la formule du produit, nous avons deux fonctions ; à partir de cette unique fonction s(x), nous les obtenons ainsi : f(x) = 5 et g(x) = x². Il ne reste plus qu’à appliquer la formule :

$$s^{\prime }(x)=5^{\prime }\cdot x^2+5\cdot (x^2{)}^{\prime }=0\cdot x^2+5\cdot 2x=10x$$

Nous voyons que si nous avons une fonction de la forme

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

alors la dérivée est

$$(a\cdot x^c{)}^{\prime }=a\cdot (x^c{)}^{\prime }=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Nous pouvons encore généraliser cette règle : à la place d’un monôme, nous pouvons mettre n’importe quelle fonction. Ainsi, pour toute fonction f(x), on a

$$(a\cdot f(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x).$$

Comme exemple, essayons de dériver cette fonction :

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

Au début de la dérivation, nous appliquons d’abord la règle de la somme :

$$f^{\prime }(x)=(5x^3{)}^{\prime }-(7x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Les termes qui sont des produits, nous les écrivons selon la dernière formule :

$$=5(x^3{)}^{\prime }-7(x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Nous dérivons les expressions entre parenthèses selon la règle de dérivation de x^c.

$$=5\cdot 3x^2-7\cdot 2x+0=$$

Et enfin, il ne reste qu’à multiplier les coefficients :

$$=15x^2-14x.$$

Dérivée d’un quotient

La dérivée d’un quotient est encore un peu plus compliquée que celle d’un produit. Voici la formule :

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

Pour le reste, la marche à suivre est analogue à celle du produit. Passons donc tout de suite à un exemple :

$${\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)}^{\prime }=$$

Le numérateur de la fraction représente la fonction f(x), le dénominateur la fonction g(x). Il ne reste qu’à appliquer la formule :

$$=\frac{(x^2+3x+1{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}=$$

Au dénominateur, nous avons le carré du dénominateur, et au numérateur la fraction développée selon la formule. Nous dérivons maintenant la première et la dernière parenthèse. Nous avons là aussi la règle de la somme, que je saute pour écrire directement le résultat :

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1{)}^2}=\dots$$

Nous pourrions encore simplifier cette expression, mais ce n’est plus l’essentiel dans ce chapitre.

Dérivées des fonctions élémentaires

Nous donnons maintenant, sans démonstration, quelques formules de dérivation des fonctions usuelles.

Puissances et logarithmes :

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln a};a>0\wedge a\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Remarque que la dérivée de la fonction e^x est de nouveau e^x : ce n’est pas une coquille, mais une propriété sympathique qui est à l’origine de bien des blagues.

Fonctions trigonométriques :

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\tan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\cot x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\end{array}$$

Un exemple simple :

$$(3\sin x+2\ln x{)}^{\prime }=$$

Les deux expressions sont en somme, il suffit donc d’additionner les dérivées de ces deux expressions. Chaque expression commence par une constante qui multiplie la fonction qui la suit ; nous savons qu’il suffit alors de dériver la fonction sans toucher à la constante. Faisons-le :

$$=3(\sin x{)}^{\prime }+2(\ln x{)}^{\prime }=$$

Ce sont des valeurs du tableau des dérivées usuelles :

$$=3\cos x+2\frac{1}{x}=3\cos x+\frac{2}{x}.$$

Dérivée d’une fonction composée

D’après les propriétés de la dérivée et son application à l’étude du étude d’une fonction, nous savons que, sous certaines conditions, nous pouvons avoir deux fonctions dérivables dont la composée est de nouveau une fonction dérivable. Voyons comment calculer la dérivée d’une telle fonction composée.

La dérivée d’une fonction composée est sans doute la notion la plus difficile parmi ces dérivées de base. On peut composer des fonctions. Pour savoir ce qu’est une fonction composée, tu peux consulter les articles Qu’est-ce qu’une fonction ou Ensemble de définition d’une fonction. En gros, cela signifie que l’on donne en argument d’une fonction une autre fonction. L’écriture symbolique serait h(g(x)). Une fonction concrète peut être par exemple

$$f(x)=\sin (2x).$$

Quelles sont les deux fonctions en jeu ? Le sinus, puis la fonction imbriquée 2x. Sur cette fonction f, nous ne pouvons pas appliquer telle quelle la formule générale de sin(x), car elle suppose que l’argument est x, et non 2x. Le calcul de la dérivée d’une fonction composée se déroule donc ainsi :

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

C’est-à-dire que nous dérivons la fonction extérieure en laissant le même argument, puis nous multiplions le tout par la dérivée de la fonction intérieure. Pour notre exemple avec le sinus, on aurait :

$$(\sin (2x){)}^{\prime }={\sin }^{\prime }(2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=$$

Le signe prime placé seulement sur le sinus signifie que l’on ne dérive que le sinus lui-même, et non toute l’expression comme dans le membre de gauche de l’égalité. Ainsi, la dérivée du sinus est le cosinus, donc à la place du sinus nous écrivons simplement le cosinus. Et la dérivée de 2x est 2 :

$$=\cos (2x)\cdot 2=2\cos (2x).$$

Un autre exemple, un peu plus compliqué.

$$(\cos (\ln x^2){)}^{\prime }=$$

Ici, nous avons une fonction imbriquée de plus. La fonction extérieure est le cosinus, celle du milieu est le logarithme et la plus intérieure est la puissance x². Nous procédons cependant de nouveau selon la formule. Écrivons :

$$={\cos }^{\prime }(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Nous ne dérivons que le cosinus, nous laissons l’argument du cosinus tel quel, c’est-à-dire que nous y laissons le logarithme entier. Nous multiplions ensuite toute cette expression par la dérivée de l’argument, c’est-à-dire par la dérivée du logarithme. Dérivons le cosinus et nous avons :

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

L’expression de droite n’a pas changé, nous avons seulement dérivé le cosinus. Passons maintenant à la dérivée du logarithme. C’est de nouveau une fonction composée, donc nous appliquons récursivement la formule de la fonction composée. L’expression de gauche, nous la recopions simplement :

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot {\ln }^{\prime }{x}^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=$$

Nous dérivons le logarithme en lui laissant le même argument, c’est-à-dire x². Mais nous multiplions encore toute l’expression par la dérivée de l’argument, c’est-à-dire justement par la dérivée de x². La dérivée du logarithme est la fraction 1/x, où nous remplaçons x par notre argument x², et la dérivée de x² est 2x.

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{1}{x^2}2x=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{2}{x}=-\frac{2\sin (\ln x^2)}{x}.$$