Basiswechselmatrix

Haben wir einen Vektorraum V und zwei Basen davon, können wir einen Vektor aus dem Raum als Kombination der Vektoren aus beiden Basen darstellen. Die Basiswechselmatrix hilft uns dann, die eine Darstellung in die andere umzurechnen.

Motivation

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit zwei verschiedenen Basen E = {e₁, …, e_n} und F = {f₁, …, f_n}. Wählen wir außerdem einen Vektor x aus V. Da x aus dem Raum V ist und da E und F Basen dieses Raums sind, muss es Koeffizienten a₁, …, a_n geben, sodass:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

und zugleich muss es Koeffizienten b₁, …, b_n geben, sodass:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

Im ersten Fall stellen wir den Vektor x mithilfe der Basis E dar, im zweiten Fall mithilfe der Basis F. Wir verwenden zwei verschiedene Basen zur Darstellung von x und erhalten so zugleich zwei verschiedene Sätze von Koeffizienten a_i und b_i. Es stellt sich die Frage: Wenn wir die Koeffizienten b_i kennen, gibt es einen Weg, aus diesen Koeffizienten die Koeffizienten a_i zu gewinnen, d. h. die Darstellung bezüglich der anderen Basis?

Ja, dazu dient die sogenannte Basiswechselmatrix.

So erhält man die Basiswechselmatrix

Wir bleiben dabei, dass wir den Raum V und zwei Basen E = {e₁, …, e_n} und F = {f₁, …, f_n} haben. Da E eine Basis des Raums V ist, lassen sich sicher auch alle Vektoren f₁, …, f_n als Linearkombinationen von Vektoren aus der Basis E darstellen. Die Vektoren f₁, …, f_n sind zwar Teil der Basis F, zugleich aber gewöhnliche Elemente des Raums V, also muss gelten:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Wir schreiben diese Gleichungen nun in eine Matrix um, und zwar so, dass in der ersten Spalte der Matrix die Koeffizienten des Vektors $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$ stehen, d. h. a_i1, in der zweiten die Koeffizienten des Vektors $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, d. h. a_i2, usw. Wir erhalten die Matrix:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Eine solche Matrix heißt dann Basiswechselmatrix von E nach F. Haben wir einen Vektor x = [x₁,…, x_n] aus V, der bezüglich der Basis F die Koeffizienten b₁, …, b_n hat, dann erhalten wir die Koeffizienten a₁, …, a_n bezüglich der Basis E so:

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Beispiel

Wir arbeiten im Vektorraum ℝ³. Wir wählen als eine Basis die Standardbasis E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} und als zweite Basis F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)}. Die Basiswechselmatrix von der Basis E zur Basis F hat die Form

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Nun wählen wir einen beliebigen Vektor x ∈ ℝ³, zum Beispiel x = (12, 41, 28). Dieser hat bezüglich der Basis F die Koeffizienten b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Wir führen also das Matrixprodukt aus:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Bezüglich der Basis E hat der Vektor x die Koeffizienten a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Es gilt also:

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$