Basisskiftematrise

Hvis vi har et vektorrom V og to baser for det, kan vi uttrykke én vektor fra rommet som en kombinasjon av vektorer fra begge basene. Basisskiftematrisen hjelper oss da å overføre den ene framstillingen til den andre.

Motivasjon

La oss si at vi har et n-dimensjonalt vektorrom V og to ulike baser for det, E = {e₁, …, e_n} og F = {f₁, …, f_n}. Videre velger vi en vektor x fra V. Siden x er fra rommet V og siden både E og F er baser for dette rommet, må det finnes koeffisienter a₁, …, a_n slik at:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

og samtidig må det finnes koeffisienter b₁, …, b_n slik at:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

I det første tilfellet uttrykker vi vektoren x ved hjelp av basisen E, i det andre tilfellet ved hjelp av basisen F. Vi bruker to ulike baser til å uttrykke x, og får dermed samtidig to ulike sett av koeffisienter a_i og b_i. Spørsmålet melder seg: hvis vi kjenner koeffisientene b_i, finnes det noen måte å få koeffisientene a_i ut av disse koeffisientene på, altså framstillingen med hensyn til den første basisen?

Ja, det er det den såkalte basisskiftematrisen er til for.

Hvordan få tak i basisskiftematrisen

Vi holder fast ved at vi har et rom V og to baser E = {e₁, …, e_n} og F = {f₁, …, f_n}. Siden E er en basis for rommet V, kan sikkert også alle vektorene f₁, …, f_n uttrykkes som lineærkombinasjoner av vektorer fra basisen E. Vektorene f₁, …, f_n er riktignok en del av basisen F, men samtidig er de vanlige elementer i rommet V, så det må gjelde:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Nå skriver vi disse likningene om til en matrise slik at det i den første kolonnen i matrisen står koeffisientene til vektoren $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$, altså a_i1, i den andre koeffisientene til vektoren $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, altså a_i2, osv. Vi får matrisen:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

En slik matrise kalles basisskiftematrisen fra basisen E til basisen F. Hvis vi har en vektor x = (x₁, …, x_n) fra V som med hensyn til basisen F har koeffisientene b₁, …, b_n, så får vi koeffisientene a₁, …, a_n med hensyn til basisen E

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Eksempel

Vi skal jobbe over vektorrommet ℝ³. Vi velger standardbasisen som den ene basisen E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} og F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)} som den andre basisen. Basisskiftematrisen fra basisen E til basisen F får formen

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Nå velger vi en vilkårlig vektor x ∈ ℝ³, for eksempel x = (12, 41, 28). Den har med hensyn til basisen F koeffisientene b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Vi utfører altså et produkt av matriser:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Med hensyn til basisen E har vektoren x koeffisientene a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Altså gjelder:

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$