Calcul avec les pourcentages

Les pourcentages désignent en général une partie relative d'un tout, ce tout étant exprimé comme 100 %. Un pourcentage peut toujours s'écrire sous forme de fraction.

Le pourcentage comme partie d’un tout

On utilise les pourcentages lorsqu'on veut exprimer une partie d'un tout. On peut remplacer par des pourcentages des expressions comme « un quart de la classe a eu moins de 10 sur 20 » ou « une personne sur deux est un homme ». On a toujours un tout, par exemple toute la classe, et l'on dit qu'un quart de ses élèves ont eu moins de 10. Si la classe compte 32 élèves et qu'un quart d'entre eux ont eu moins de 10, alors le nombre total d'élèves ayant eu moins de 10 sera égal à :

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{ce qui revient au même que}\frac{32}{4}=8$$

Dans un deuxième cas, prenons une ville, disons Chambéry. Elle compte environ 60 000 habitants. Si un habitant sur deux est un homme, cela signifie que la moitié d'entre eux sont des hommes, ce que l'on écrit :

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{ce qui revient au même que}\frac{60000}{2}=30000$$

On pourrait aussi dire : « un habitant de Chambéry sur cent est mathématicien ». Il y aurait alors à Chambéry $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$ mathématiciens. « Un sur cent » revient à dire « un centième des habitants ».

Nous pouvons maintenant introduire la notion de pourcentage. Un pour cent, noté 1 %, représente un centième du tout. Cela signifie que dire « un habitant de Chambéry sur cent est mathématicien » et dire « un pour cent des habitants de Chambéry sont mathématiciens » revient au même. Pour calculer un pour cent d'un tout, on multiplie ce tout par $\frac{1}{100}$ ou on le divise par 100 ; c'est la même chose.

On peut facilement convertir les pourcentages en fractions et continuer à calculer avec eux. Si l'on dit que « x % des habitants de Chambéry ont les cheveux foncés », c'est la même chose que de dire « $\frac{x}{100}\cdot 60000$ habitants de Chambéry ont les cheveux foncés ». 100 % représente alors le tout, c'est-à-dire l'ensemble des habitants. La phrase « 100 % des élèves ont été admis dans la classe supérieure » signifie que tous les élèves ont été admis. La phrase « 0 % des élèves ont redoublé » signifie que personne n'a redoublé. Exemples :

1. 35 % des habitants de Chambéry prennent le bus. Combien de personnes prennent le bus ? 35 % revient à $\frac{35}{100}$ du tout (= « trente-cinq centièmes du tout »). Calculons donc : $\frac{35}{100}\cdot 60000$. On peut le calculer simplement en divisant d'abord 60 000 par cent, puis en multipliant ce résultat par 35. En pratique, on effectue la transformation suivante :

   $$\frac{35}{100}\cdot 60000=\frac{35\cdot 60000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21000$$

   On peut aussi se représenter le calcul ainsi : on calcule d'abord le nombre d'habitants correspondant à un pour cent, soit $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$. Un pour cent correspond donc à 600 habitants. Or nous voulons connaître 35 % des habitants : il suffit donc de multiplier ces 600 habitants par 35, soit 35 · 600 = 21 000.

2. Lucas gagne en moyenne 20 € par jour. Aujourd'hui, il n'a gagné que 75 % de son salaire moyen. Combien Lucas a-t-il gagné ? La méthode reste la même. Le tout vaut 20 et l'on convertit 75 % en fraction, $\frac{75}{100}$. Cette fraction peut encore être simplifiée en $\frac{3}{4}$. On multiplie le tout par cette fraction :

   $$\frac{3}{4}\cdot 20=\frac{3\cdot 20}{4}=3\cdot 5=15$$

3. Le lendemain, Lucas s'est rattrapé et a gagné 150 % de son salaire moyen. Combien a-t-il gagné ? Peut-on même gagner plus de 100 %, alors que nous avons dit que 100 % représente le tout ? Oui, c'est possible. De même que quelqu'un peut gagner « trois fois plus d'argent que la moyenne », quelqu'un peut gagner 150 % de sa moyenne.

   Procédons exactement de la même façon. On convertit 150 % en fraction, $\frac{150}{100}$, et l'on multiplie par cette fraction le salaire moyen de Lucas, soit 20 :

   $$\frac{150}{100}\cdot 20=\frac{150\cdot 20}{100}=\frac{150\cdot 1}{5}=\frac{150}{5}=30$$

Les pourcentages et la règle de trois

Une partie du tout exprimée en pourcentages se convertit facilement en règle de trois. Restons-en à Lucas, qui gagne en moyenne 20 € par jour et qui a gagné aujourd'hui 75 % de son salaire moyen. On peut en effet écrire cela sous forme de règle de trois :

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 20\text{ euros}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ euros}\end{array}$$

Comme il s'agit d'une proportionnalité directe, on obtient :

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{20}$$

Multiplions l'équation par 20 :

$$\frac{75\cdot 20}{100}=x$$

On obtient alors facilement le résultat :

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 20}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 1}{5}& =& x\\ x& =& 75/5\\ x& =& 15\end{array}$$

On retrouve bien le même nombre.

Et si l’on connaît la partie mais pas le tout ?

Dans les exemples précédents, nous connaissions toujours la valeur exacte du tout et devions calculer la partie donnée en pourcentage. Et si, au contraire, on connaît la partie mais pas le tout ? Exemple : Lucas possède 120 cartes magiques représentant un grand monstre vert. Pourtant, même si c'est un nombre respectable de cartes de monstres verts, il n'a encore que soixante pour cent des cartes d'Emma. Combien de cartes Emma possède-t-elle ?

Ici, nous connaissons la partie, mais pas le tout, que nous devons encore calculer. Nous savons que 120 cartes correspondent à 60 % des cartes d'Emma. Pour savoir combien de cartes correspondent à un pour cent, il suffit de diviser ces 120 par 60. On obtient 120/60 = 2. Un pour cent des cartes correspond donc en fait à deux cartes. Comme on calcule le tout, qui vaut toujours 100 %, on multiplie ce nombre de cartes par cent. On obtient 200 cartes, ce qui est le bon résultat.

On peut le vérifier en calculant 60 % de 200 : il suffit de multiplier

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

On voit que 60 % de 200 font bien 120, c'est-à-dire exactement le nombre de cartes au monstre vert que possède Lucas.

Addition de pourcentages

Lorsqu'on doit faire un calcul comportant des pourcentages, le mieux est toujours de calculer d'abord les valeurs exactes, puis de les additionner. Voici par exemple un énoncé possible : Théo gagne 600 €, Nathan 800 € et Chloé 1 000 €. Calcule combien gagne Manon, qui touche 30 % de ce que gagne Théo, plus 40 % de ce que gagne Nathan, plus 25 % de ce que gagne Chloé.

Il y a ici trois expressions contenant des pourcentages, mais chacune se rapporte à un tout différent. Théo, Nathan et Chloé gagnent chacun une somme différente. On calcule donc d'abord 30 % du salaire de Théo. Cela fait 600/100 = 6. On multiplie ensuite 6 · 30, ce qui donne 180. Vient ensuite le tour de 40 % du salaire de Nathan. Cela fait 800/100 = 8. On le multiplie par 40 et l'on obtient 8 · 40 = 320. La dernière partie concerne 25 % du salaire de Chloé. Celle-ci gagne 1 000 €, dont un pour cent vaut 1 000/100 = 10. En multipliant par 25, on obtient 10 · 25 = 250. Il ne reste plus qu'à additionner tous les résultats partiels : 180 + 320 + 250 = 750. Manon gagne donc 750 €, ce qui n'est pas si mal.

Il peut toutefois arriver que l'on ait réellement à additionner des pourcentages. On ne peut additionner des pourcentages que s'ils portent sur la même base, c'est-à-dire le même tout. Ainsi, si Louis gagne 20 % de ce que gagne Nathan, plus 30 % de ce que gagne Nathan, on peut additionner ces pourcentages, car il s'agit de la même base : les deux expressions se calculent à partir du salaire de base de Nathan. Le résultat est donc 20 % + 30 % = 50 %. Louis gagne la moitié de ce que gagne Nathan, soit 400 €.

Le piège de l’addition des pourcentages en cascade

Imaginons maintenant la situation suivante : la première année, Hugo gagne 400 €. La deuxième année, son salaire est augmenté de 30 %. La troisième année, on lui accorde encore une augmentation, cette fois de seulement 10 %. La question est : quel est aujourd'hui le salaire de Hugo ?

Ce type d'exercice incite fortement à additionner les pourcentages comme dans le cas précédent. Il semble en effet que l'on calcule toujours sur la même base, le salaire de Hugo. On calcule donc 30 % + 10 %, puis on ajoute le résultat au salaire de base. Hugo gagnerait ainsi 560 €. Mais ce n'est pas ainsi que les choses se passent. Reprenons pas à pas.

La première année, Hugo gagne 400 €. La deuxième année, il gagne 400 € + 30 %, soit 520 €, comme tu le calcules sans doute toi-même. Et l'année suivante, son salaire est augmenté de dix pour cent. Attention ! La base n'est plus les quatre cents euros de la première année : elle est désormais de cinq cent vingt euros ! Or, comme nous l'avons vu, on ne peut additionner des pourcentages que s'ils se calculent à partir de la même base. Ici la base est différente : d'abord 400, puis 520. La dernière année, Hugo gagne donc 520 € + 10 %, soit 572 €.

La réponse 560 € était fausse et, en plus, nous avons privé ce pauvre Hugo de 12 €. Ne sois pas méchant avec Hugo !

Achète ton manuel de maths en promo !

Un exemple classique concerne aussi les réductions. Imagine qu'un magasin propose un manuel de mathématiques que tu aimerais beaucoup recevoir à Noël ou pour ton anniversaire. Et d'ailleurs, que pourrais-tu bien souhaiter d'autre, n'est-ce pas ? :-)

Mais avant Noël, le magasin augmente le prix du livre de 20 %. Tu te dis alors que tu préfères attendre et acheter le livre après les fêtes. Tu as bien fait, car après les fêtes, le magasin baisse le prix du livre de 20 %. La question est la suivante : le livre coûte-t-il le même prix qu'avant la hausse ? Ou coûte-t-il plus, ou moins ?

Le bon sens dit à certaines personnes que le livre coûtera le même prix, mais ce n'est pas vrai. Calculons. Supposons que le livre coûtait 25 €. Une hausse de 20 % signifie que le livre a augmenté de $\frac{20}{100}\cdot 25=5$ €. Il coûte donc désormais 30 €.

Mais la réduction de 20 % ne se calcule plus à partir de 25, mais à partir de 30 ! Le livre baisse donc de $\frac{20}{100}\cdot 30=6$ €. Après la réduction, il coûte 24 €.

(Mais franchement, qui achèterait un manuel de maths alors qu'il existe ici « Les maths en clair » ? ;-))

Pour mille

Le pour mille sert surtout à mesurer l'alcoolémie des conducteurs. Certaines personnes croient à tort qu'un pour mille est un millième de pour cent, mais c'est une erreur, attention. Un pour mille est un millième du tout. Sinon, on calcule avec le pour mille exactement comme avec les pourcentages. Si tu veux calculer x pour mille de 5000, tu calcules $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. Au dénominateur, on a 1000 au lieu de 100. Trois pour mille de 5000 valent donc $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Le pour mille se note avec le symbole ‰. Ainsi, $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Plus d'informations dans l'article séparé sur le pour mille.

Typographie des pourcentages

En français, on met toujours une espace (insécable) entre le nombre et le signe % : on écrit « 100 % », qu'il s'agisse de « cent pour cent » ou de l'adjectif « à cent pour cent ». Pense-y bien lorsque tu écris, et ne t'inquiète pas trop si les journaux s'y trompent :-)

Point de pourcentage

En plus des pourcentages ordinaires, il existe aussi les points de pourcentage. Quelle est la différence ? Imagine que le navigateur Firefox était utilisé par 20 % des gens il y a deux ans, et qu'il l'est déjà par 30 % cette année. Quelle est la hausse entre ces deux années ? Ce serait une erreur de dire que la hausse est de dix pour cent. Si Firefox était utilisé au début par 20 % des gens, puis par 30 %, cela signifie qu'il est maintenant utilisé par la moitié de personnes en plus qu'auparavant, ce qui correspond à une hausse de cinquante pour cent.

Mais il est un peu gênant de dire que la hausse est de 50 %, alors qu'il serait plus compréhensible pour tout le monde de dire que le pourcentage a augmenté de dix. C'est précisément à cela que servent les points de pourcentage. Dans ce cas, on peut dire que la hausse de l'utilisation de Firefox s'élève à dix points de pourcentage. Les points de pourcentage servent à exprimer simplement la différence entre deux données en pourcentage.