Ensemble de définition d’une fonction

L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs admissibles que l’on peut substituer à l’argument x dans la fonction f(x) pour que cette fonction ait un sens.

Qu’est-ce que l’ensemble de définition

Un exemple simple est la fonction f(x) = 1/x. L’ensemble de définition est l’ensemble de toutes les valeurs admissibles qui, substituées dans 1/x, donnent une expression valable.

Pour savoir ce qu’est une « expression valable », il faut connaître les propriétés des fonctions et des opérations. Dans notre fonction, la variable x est divisée : elle se trouve au dénominateur de la fraction. Par quelles valeurs peut-on diviser ? Par toutes, sauf zéro. On ne peut pas diviser par zéro : zéro ne peut donc pas se trouver au dénominateur d’une fraction. La division n’a pas d’autre restriction.

On peut donc substituer à x n’importe quel nombre réel sauf zéro. L’ensemble de définition est donc ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. On note en général l’ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$, la lettre f désignant la fonction dont on calcule l’ensemble de définition.

Nous venons de calculer le plus grand ensemble de définition. Mais comme nous avons défini l’ensemble de définition comme l’ensemble des valeurs que l’on peut substituer à x, toute partie de l’ensemble de définition est elle aussi un ensemble de définition. Il peut être utile de restreindre la fonction à certaines valeurs de x. Par exemple, dans les suites on se limite aux entiers naturels, et en trigonométrie on travaille souvent avec l’intervalle [0 ; 2π] seulement.

Toutefois, si un exercice demande de calculer l’ensemble de définition d’une fonction, on suppose en général qu’il faut déterminer le plus grand ensemble de définition possible.

On peut aussi lire l’ensemble de définition sur le graphe d’une fonction. Prenons pour exemple le graphe de la fonction précédente f(x) = 1/x.

Si tu projettes le graphe sur l’axe des abscisses, tu obtiens l’ensemble de définition. Si un point x n’appartient pas à l’ensemble de définition, la perpendiculaire à l’axe des abscisses passant par ce point ne rencontre pas le graphe. On voit que seul zéro vérifie cette condition : il n’a ni « au-dessus » ni « en dessous » de lui aucun point du graphe de la fonction. Tous les autres en ont un.

Calcul de l’ensemble de définition

Pour calculer l’ensemble de définition d’une fonction composée, tu dois connaître les ensembles de définition de toutes les fonctions dont elle est constituée. Sans cela, c’est impossible. Si l’on te demandait de calculer l’ensemble de définition de f(x) = un(x) + deux(x), tu ne pourrais pas, car tu ne sais pas comment les fonctions un et deux sont définies. Voici les ensembles de définition de quelques fonctions élémentaires :

• Logarithme : ${\mathcal{D}}_f=]0;+\mathrm{\infty }[$.
• Racine carrée : ${\mathcal{D}}_f=[0;+\mathrm{\infty }[$.
• Tangente : ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \{\pi /2+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.
• Cotangente : ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.
• Fonction exponentielle : ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}$.
• Fonction affine et fonction polynôme du second degré : ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}$.

Lorsqu’on n’a qu’une seule fonction, c’est très simple. On détermine l’ensemble de définition de cette fonction, on regarde son argument, puis on substitue simplement dans l’(in)équation qui en découle. Prenons un exemple : détermine l’ensemble de définition de la fonction log(3x + 2). L’argument du logarithme doit être strictement positif, donc on doit avoir 3x + 2 > 0. C’est une inéquation du premier degré, que l’on résout facilement :

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

L’ensemble de définition est formé de tous les x qui vérifient cette inéquation, donc ${\mathcal{D}}_f=]-2/3;+\mathrm{\infty }[$.

Calcule l’ensemble de définition de $\sqrt{2x+8}$.

Sous la racine, il ne doit pas y avoir de nombre négatif : on résout donc l’inéquation 2x + 8 ≥ 0, ce qui donne :

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Donc ${\mathcal{D}}_f=[-4;+\mathrm{\infty }[$.

Calcule l’ensemble de définition de 1/x².

Le dénominateur ne doit pas être nul : on résout donc l’équation x² ≠ 0. Cela signifie x ≠ 0, donc ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Décomposition des fonctions composées

Pour les fonctions composées, la situation est un peu plus compliquée, car il faut tenir compte de plusieurs fonctions qui s’influencent mutuellement et réduisent peu à peu leur ensemble de définition. Prenons par exemple celui-ci :

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Ici, deux conditions doivent être remplies. L’expression sous la racine doit être supérieure ou égale à zéro, donc non négative ; ainsi x ≥ 0. Mais la racine se trouve au dénominateur de la fraction : elle ne doit donc pas être nulle, sinon la fraction n’aurait plus de sens. On renforce donc la condition précédente en x > 0.

On procède de la même manière pour les exemples suivants. Il est cependant important de déterminer l’ordre des fonctions imbriquées : il faut savoir quelle fonction est intérieure et laquelle est extérieure. Dans l’exemple précédent, c’était évident : la fonction intérieure était la racine et la fonction extérieure la fraction. Si l’on calculait cette expression à la main, on commencerait par extraire la racine carrée de l’argument x, puis on calculerait la fraction. C’est un bon moyen mnémotechnique : la fonction la plus intérieure est celle par laquelle on commencerait si l’on calculait à la main. Exemple suivant :

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\tan (x)){)}^3}$$

On peut maintenant adopter l’approche inverse : chercher les fonctions extérieures. La fonction extérieure « enveloppe » les fonctions intérieures. Ici, c’est évidemment la racine cinquième qui enveloppe toutes les autres fonctions. Ensuite, le cube enveloppe le résultat du logarithme, le logarithme enveloppe la tangente, et enfin la variable x est enveloppée par la tangente. C’est simple. Avec la méthode précédente, on procède ainsi : lorsque l’on connaît la valeur de x, on lui applique d’abord la tangente. C’est donc la fonction la plus intérieure. On applique ce résultat au logarithme – c’est donc la deuxième fonction la plus intérieure. On élève ensuite ce résultat au cube, et enfin on prend la racine cinquième.

Décompose la fonction composée :

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Commençons par la fonction extérieure : c’est le sinus. Viennent ensuite, dans l’ordre, la fraction, puis le logarithme, puis la fonction exponentielle (imagine cette substitution : 10^a), et enfin la fonction affine 2x + 3.

Décompose la fonction composée :

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

La fonction extérieure est la fonction exponentielle 2^a. Vient ensuite la fraction, puis, au dénominateur de la fraction, la racine carrée, et enfin la fonction linéaire 3x.

Ensemble de définition des fonctions composées

Dès que tu sais décomposer une fonction en fonctions extérieure et intérieure, la détermination de l’ensemble de définition ne doit plus poser de problème. Voyons cela directement sur un exemple :

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

Commençons par la fraction. Il faut que son dénominateur soit différent de zéro. Écrivons-le :

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

D’après les propriétés de la fonction sinus, on sait que la valeur 1 est atteinte au point x = π/2. Comme c’est une fonction périodique, on obtient l’ensemble M = {π/2 + 2kπ ∣ k ∈ ℤ}. C’est l’ensemble des valeurs pour lesquelles le dénominateur vaut zéro. On ne peut donc pas substituer ces x dans notre fonction.

Mais ce n’est pas tout : il faut encore regarder l’ensemble de définition de la fonction sinus. Heureusement, il vaut ℝ, donc il ne nous restreint pas. La seule restriction vient du dénominateur de la fraction. Donc ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \{\pi /2+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.