✖

Teljes négyzetté alakítás

A teljes négyzetté alakítás módszerével az ax2 + bx + c másodfokú függvényt (x + m)2 + n alakban írhatjuk fel.

A teljes négyzetté alakítás algoritmusa

Az algoritmus a zárójel négyzetre emelésének klasszikus képletét használja:

(a+b)2=a2+2ab+b2

Az eljárás a következő. Egyelőre tegyük fel, hogy a = 1. Képzeljük el, hogy van egy másodfokú függvényünk, f(x) = x2 + 6x + 1, és át akarjuk alakítani (x + m)2 + n alakra. Először meghatározzuk az első zárójelben szereplő értékeket: (x + m)2. Milyen számot kell m helyére írni? A képlet szerint fenn kell állnia az (x + m)2 = x2 + 2mx + m2 egyenlőségnek. Az f függvényben van x2, ez rendben van. Az elsőfokú tag helyén viszont 6x áll. Milyen értéket kell m-nek választani, hogy 6x = 2mx teljesüljön? Nyilván annak kell teljesülnie, hogy m = b/2 = 6/2 = 3. Az m szám helyére tehát mindig a másodfokú függvény b együtthatójának a felét írjuk.

Így az (x + 3)2 + n alakot kaptuk. Már csak az n számot kell meghatározni. Már tudjuk, hogy (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Az x2 + 2mx rész kell nekünk, de az m2 kifejezés felesleges, az f függvényben nincs megfelelője. Ezért a jelenlegi eredményből kivonjuk m2-et. Így az (x + m)2 − m2 alakot kapjuk, ami a zárójel felbontása után x2 + 2mx + m2 − m2. A kivonás után tehát csak x2 + 2mx marad.

Az f függvényben azonban még van konstans tag, c. Ezt egyszerűen hozzáadjuk. Így az (x + m)2 − m2 + c alakot kapjuk, ami a zárójel felbontása után x2 + 2mx + m2 − m2 + c, egyszerűsítés után pedig x2 + 2mx + c. Mivel m = b/2, ez a kifejezés nem más, mint x2 + bx + c, tehát az (x + m)2 − m2 + c kifejezés zárójelének felbontása után visszakapjuk az eredeti függvényt, jól számoltunk. (Megismétlem, hogy a = 1, ezért sehol sem hiányzik.)

Az f mintafüggvényre így az (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8 teljes négyzetes alakot kapjuk. Ellenőrzésképpen felbonthatjuk a zárójelet:

(x+3)2−8=x2+6x+9−8=x2+6x+1

A teljes négyzetté alakítás módszerét például akkor használjuk, ha le akarod rajzolni a másodfokú függvény grafikonját.

Ha a ≠ 1

Ha olyan függvényünk van, amelyre nem igaz, hogy a = 1, úgy járunk el, hogy az egész függvényből kiemeljük az a számot, és úgy folytatjuk, ahogy már tudjuk. Példa:

2x2+16x−12=0

Az egész függvényből kiemeljük a kettest:

2⋅(x2+8x−6)=0

A zárójelen belüli függvényt már teljes négyzetté tudjuk alakítani.

x2+8x−6=(x+4)2−16−6=(x+4)2−22

Ezt az eredményt behelyettesítjük az előző egyenletbe, így azt kapjuk:

2⋅(x2+8x−6)=2((x+4)2−22)=2(x+4)2−44