Mi a függvény

A függvény a matematika egyik legalapvetőbb fogalma, és érdemes teljesen megértened. A matematikát átszövik a függvények, és szinte minden jel, amelyet az általános iskola óta ismersz, valójában egy függvényt jelent.

A függvény hasonlata

Láttál már kávéautomatát? Mi jellemző egy ilyen automatára? Az, hogy bedobsz bele néhány érmét, az automata pedig kiad egy kávét. Ha több érmét dobsz be, az automata jobb kávéval válaszol.

A függvény egy ilyen matematikai kávéautomata. A függvénybe beteszel valamilyen bemenetet (az érméket), a függvény pedig visszaad valamilyen kimenetet (a kávét). Ez a függvény egész alapelve.

A függvény feladata, hogy átvegyen egy bemenetet, egy számot, belül valamit csináljon vele, megváltoztassa, majd ezt az új számot adja vissza kimenetként.

Alapfogalmak

Minden függvénynek van neve, amely megkülönbözteti a többitől. A függvény leggyakoribb neve az „f” betű. A függvényhez szükségünk van egy szabályra, amely megmondja, hogyan dolgozzon – hogyan főzze meg az automata a kávét. Kezdetként képzeljük el a függvényt úgy, mint egy kétoszlopos táblázatot. Az első oszlopban van a bemenet (az automatánál az érmék értéke), a másodikban a függvény kimenete (a kávé).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{bemenet}& \text{kimenet}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Látjuk, hogy a kimenet mindig kétszer akkora, mint a bemenet, de ennek egyáltalán nem kell szabálynak lennie. Lehet ilyen táblázatunk is:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{bemenet}& \text{kimenet}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Egyelőre azonban elég lesz az első, szabályos táblázat. Mondhatjuk, hogy ez a táblázat meghatározza az f függvényt. Mit csinál a függvény? Beadunk neki valamilyen bemenetet, a függvény megkeresi ezt a bemenetet a táblázat első oszlopában, és visszaadja a kimenetet ugyanabból a sorból. Ha azt keressük, mi a függvény kimenete a hármas számra, így írnánk fel:

$$f(3)=6$$

Megtaláltuk azt a sort, ahol a bemenet három, és ugyanabban a sorban a kimenet hat volt. Továbbá igaz, hogy f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 és f(5) = 10. Az, hogy a függvényeket táblázattal adjuk meg, néhány számnál talán áttekinthetőnek tűnik, de ha több számmal dolgozunk, rendkívül kényelmetlen. Ezért másfajta felírásra van szükségünk. Megadhatjuk a függvényt hozzárendelési szabállyal. A táblázatunkban a kimenet kétszer akkora volt, mint a bemenet. Ezt hozzárendelési szabállyal így írhatjuk fel:

$$f(x)=2\cdot x$$

Ez egy egyszerű lineáris függvény, de ez most mellékes. Mit mond nekünk ez a kifejezés? Az f betű a függvény neve, ezt már tudjuk. A zárójelben álló kifejezés, vagyis az x betű a függvény paramétere. Az automata hasonlatában ez a „bedobott érmék értéke” lenne. A függvény paramétere egy változó, amelybe az általunk átadott érték kerül. Ha az automatába (függvénybe) húsz forintot dobnánk, a függvényben x = 20 lenne. Ezzel az értékkel az automata, vagyis a függvény ezután a maga módján dolgozik tovább.

Ezután jön az egyenlőségjel, az egyenlőségjel után pedig maga a szabály, amely megadja, mit kell csinálni az x értékkel. Látjuk, hogy a függvény az átadott x értéket megszorozza kettővel. Ennyi az egész.

További példák függvényekre

A jobb oldalon gyakorlatilag bármilyen matematikai kifejezés állhat. Állhatnak ott más függvények is, és állhatnak ott feltételek, amelyek pontosítják a meghatározást. Egy függvényt szavakkal is megadhatnánk például így: „ha a bemenet páros szám, adj vissza nullát, ha a bemenet páratlan szám, adj vissza egyet”. Ez egy olyan függvény, amely csak egyest és nullát ad vissza, de attól még függvény.

Fontos megérteni, hogy a függvényt szinte bárhogyan meg lehet adni. A függvénynek természetesen megvannak a maga szabályai, de ezek most nem annyira fontosak – az egyik szabályról ráadásul rögtön a következő fejezetben lesz szó. A függvény meghatározásának nem kell első pillantásra értelmesnek lennie, és nem kell benne rendnek lennie. A függvény akár mindig a bemenet kétszeresét is visszaadhatja, kivéve azt az esetet, amikor a bemenet hét. Akkor kilencet ad vissza. Ez valószínűleg értelmetlen, de ez is függvény.

Függvénynek nevezhetjük a matematikán kívüli műveletek jó részét is. Például ha megszámolod a „mamut” szó hosszát, mondhatjuk, hogy meghívtál egy „szóhossz” nevű függvényt, és argumentumként átadtad neki a „mamut” szót. A függvény megszámolta a szó betűit, és kimenetként visszaadta az ötöt.

Ki kell számolnod, mennyi kamatos kamatot fizetsz egy kölcsönre vagy jelzáloghitelre? Ezt is megoldhatja egy függvény. Egyszerűen úgy határozod meg a függvényt, hogy kiszámolja a kamat nagyságát mondjuk tíz év után. Meg kell tudnod, hány kilométert tud még megtenni az autó adott számú liter benzinnel? Határozz meg egy függvényt! Ha az autó átlagosan literenként például 11 kilométert tesz meg, akkor azt a függvényt, amely kiszámolja, hány kilométert tudunk még megtenni, így adhatjuk meg:

$$\text{táv}(x)=11\cdot x$$

Ha már csak 17 liter benzinünk van, a távolságot a függvény meghívásával számítjuk ki:

$$\text{táv}(17)=11\cdot 17=187$$

A függvény egyszerűen bármi, ami valamilyen bemenetre visszaad valamilyen számot. Add meg a légvonalbeli távolságot Szegedtől egy megadott városig, add meg egy megadott lemez leghosszabb számának hosszát, add meg egy megadott ember hajszálainak számát, add meg egy megadott állat lábainak számát és így tovább.

A függvény alapvető tulajdonsága

A függvénnyel kapcsolatos rendkívül fontos feltétel – ha visszatérünk a táblázathoz –, hogy a bemenetet tartalmazó első oszlopban egyetlen érték se szerepeljen kétszer. Ha a táblázat így nézne ki:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{bemenet}& \text{kimenet}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… akkor nem tudnánk megmondani, mit adjon vissza a függvény, ha egyest teszünk bele:

$$f(1)=?$$

A függvénynek egyértelműen meghatározottnak kell lennie, nem fordulhat elő, hogy ugyanarra a bemenetre két különböző eredményt adjon. Ez egyszerűen nem megy. Azt várjuk a függvénytől, hogy ugyanarra a bemenetre mindig ugyanazt a kimenetet adja vissza. Vigyázz, ez a követelmény nem vonatkozik a második oszlopra, a kimenetre. A kimenetek lehetnek akár azonosak is, az nem zavar minket. Ez a táblázat érvényes lenne:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{bemenet}& \text{kimenet}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

A függvény kiértékelése

Már tudjuk, hogyan hívjuk a függvény egyes részeit, és nagyjából azt is, hogyan lehet függvényt meghatározni. Most lépésről lépésre elmagyarázzuk, hogyan zajlik a függvény kiértékelése. Adott tehát az f(x) = 2x függvény. Mi történik, ha a függvénybe hármat dobunk? Ha hármat akarunk beletenni a függvénybe, az azt jelenti, hogy a függvény paramétere helyére a három számot helyettesítjük. A függvény argumentuma a három, tehát minden x helyére hármat írunk:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Már látjuk, hogy a függvény hatot ad ki, ugyanúgy, mint az előbb a táblázat. A táblázat azonban csak öt számra szorítkozott, az új meghatározásunk viszont más számokkal is megbirkózik:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Ezt az eljárást, amikor az x változó helyére konkrét értékeket helyettesítünk, a függvény kiértékelésének vagy a függvény hívásának, esetleg alkalmazásának nevezzük. Ha tehát azt mondjuk, hogy „meghívjuk az f függvényt az 5 argumentummal”, akkor az f(5) értékét akarjuk kiszámolni, ami a mi esetünkben f(5) = 2 · 5 = 10.

Még két fogalmat jegyezz meg. Azt, amivel a függvényt meghívjuk (amit az x helyére helyettesítünk), a függvény argumentumának nevezzük. Kicsit zavarosnak tűnhet, de ha van egy f(x) függvényünk, és meghívjuk a hármas értékkel, f(3), akkor az x a függvény paramétere, a 3 pedig a függvény argumentuma. Az argumentum maga az érték, amellyel a függvényt meghívjuk. A paraméter az eredeti változó, amellyel a függvényt meghatároztuk. Ez inkább technikai részlet.

A másik fogalom a függvényérték, vagyis az az érték, amelyet a függvény kimenetként visszaad. Az előző függvény a hármas számmal meghívva a hatot adta vissza. A hatos szám tehát ebben az esetben a függvényérték. Egész mondatban úgy mondanánk: „az f függvény értéke a három helyen hat”. A „hely” szó ebben az összefüggésben általában a függvény argumentumát jelenti.

Függvények a hétköznapi matematikában

A hétköznapi matematikában rengeteg függvény fordul elő, amelyeknek nagyon különleges a jelölésük, úgyhogy nem is látszik rajtuk, hogy függvények. Például az abszolút érték nem más, mint egy függvény. Bemenetként kap egy számot, kimenetként pedig vagy ugyanazt a számot, vagy az ellentettjét adja vissza.

Biztosan felismered a gyökvonás jelét: $\sqrt{}$. Ez is egy függvény. Bemenetként kap valamilyen argumentumot, kimenetként pedig a négyzetgyökét adja vissza. Hasonlóan a négyzet, x² is függvény. Bemenetként kap egy számot, kimenetként pedig a szám négyzetét adja vissza.

Elég fontos felismerni, hogy a hasonló varázsjelek többsége valójában nem más, mint egy egyszerű függvény. Ne úgy nézz a $\sqrt{}$ jelre, mint valami furcsa görbe csudára, hanem úgy nézz rá, mint egy függvényre.

Különösen a kezdőnek lehet zavaró egy olyan kifejezés, amely rengeteg matematikai jelet tartalmaz, és a szegény kezdő a felükkel sem boldogul, pedig egyszerűen csak néhány összetett függvényről van szó. Vegyük segítségül ezt a példát:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Ha egy matematikában járatlan ember ránéz, megvakarja a fejét, és nem nagyon tudja, mit kezdjen vele. Pedig a kifejezésben összesen négy elég egyszerű függvény van, amelyeket sorban az x változóra alkalmazunk. Felírhatnánk elnevezett és egymásba ágyazott függvényekkel így:

$$\text{faktoriális}(\text{gyök}(\text{abs}(\text{négyzet}(x))))$$

Hosszabb a felírás, de annak, aki nem igazodik ki a jelek között, talán áttekinthetőbb. Ráadásul tökéletesen világos az is, milyen sorrendben hívjuk meg egymás után a függvényeket.

A függvény felírásának összefoglalása

A függvénynek van neve, ami lényegében bármi lehet. Az általános függvényt leggyakrabban f-nek nevezzük. Minden függvénynek adott számú paramétere van, amelyeket a név után kerek zárójelbe írunk. Ha az f függvényünknek két paramétere lenne, így írnánk: f(x, y) vagy f(a, b). A paraméterek elnevezése általában nem számít.

Néhány gyakran használt függvénynek saját jele van, például a gyökvonás jele $\sqrt{}$. Továbbá a sin vagy a sin(x) a szinusz függvény, a |x| az abszolút érték függvény, az x! pedig a faktoriális függvény.

Ha a függvénynek egy paramétere van, néha elhagyjuk a zárójelet, ami egyszer áttekinthetőbbé teszi a felírást, máskor nem. Tehát a sin(x) és a sin x is érvényes felírása a szinusz függvénynek.

Amikor a függvény paraméteréről beszélünk, az f(x) felírásban az x betűről beszélünk. Az argumentum pedig az az érték, amellyel a függvényt meghívjuk, amelyet az x helyére helyettesítünk. E két fogalom gyakran összemosódik. A függvényérték az az érték, amelyet a függvény meghívása után kapunk. Egyszerűen úgy írjuk fel, hogy a függvény neve, a zárójel és az argumentum. Ha van egy f(x) = 2x függvényünk, és az x paraméter helyére behelyettesítjük az x = 4 argumentumot, akkor azt mondjuk, hogy meghívtuk a függvényt az x = 4 argumentummal, és a kapott f(4) függvényérték nyolc.