Páros és páratlan függvény

A függvényeknél meghatározhatjuk a paritásukat, vagyis megállapíthatjuk, hogy a függvény páros vagy páratlan. Szélsőséges esetben egyszerre páros és páratlan is lehet, de általában sem nem páros, sem nem páratlan.

Párosság

A függvény páros, ha teljesíti az egyszerű szabályt – ha a függvénybe beírod az x elemet, majd az ellentettjét, a −x-et, a függvénynek ugyanazt az értéket kell visszaadnia. Tipikus páros függvény az f(x) = x². Ha a 6 és a −6 argumentummal hívod meg, ezt kapod: f(6) = 36 és f(−6) = 36. Az argumentum csak az előjelben különbözött, az eredmény ezért ugyanaz.

A formális meghatározás így nézhet ki. Ha az f függvény páros, akkor teljesítenie kell, hogy

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(x)=f(-x)$$

A függvény értelmezési tartományának minden x elemére igaznak kell lennie, hogy ha a függvényt az ellentett argumentummal, vagyis a −x-szel hívjuk meg, a függvényértékeknek egyenlőnek kell lenniük.

Hogyan jelenik meg a páros függvény a grafikonon? Ha a függvénybe beírjuk az x-et és a −x-et, ugyanazt az y-t kapjuk. Ha ezen elgondolkodunk: az x és a −x az x tengelyen ugyanolyan messze van az origótól, és az y koordinátájuk megegyezik. Ez azt jelenti, hogy a páros függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. Szemléltetésül az x² függvény grafikonja:

A megszokott függvények közül páros függvény: a koszinusz, az f(x) = x^a alakú függvények, ahol a páros szám. Egy páratlan függvényből párosat csinál az abszolút érték, például f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Páratlan függvény

A páratlan függvénynek a párosához hasonló szabályokat kell teljesítenie. Az f függvény tehát páratlan, ha teljesíti ezt a szabályt:

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(-x)=-f(x)$$

A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy ha a páratlan függvényhez hozzátartozik az (a; b) pont, akkor hozzá kell tartoznia az ellentett koordinátájú pontnak is, vagyis a (−a; −b) pontnak. Példa páratlan függvényre az f(x) = x³. Ha az x helyére kettőt helyettesítünk, azt kapjuk, hogy:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

A második kifejezésben ezt kapnánk:

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Hogyan jelenik ez meg a grafikonon? Ha a függvényhez hozzá kell tartoznia az (a; b) pontnak és egyszerre a (−a; −b) pontnak is? Ha lerajzolod, rájössz, hogy az ilyen grafikon szimmetrikus a koordináta-rendszer origójára, vagyis a (0; 0) pontra. Az f(x) = x³ függvény grafikonja a következő ábrán látható.

A megszokott függvények közül páratlan függvény: az f(x) = x^a, ahol a páratlan, az f(x) = ax, ahol a tetszőleges valós szám (ez tehát lineáris függvény konstans tag nélkül). Továbbá még az f(x) = a/x és a szinusz.

A párosság ellenőrzése

Hogyan ellenőrizzük, hogy a függvény páros-e? A meghatározás szerint kell eljárnunk. Vegyük például az ismert f(x) = x² függvényt. Ellenőrizzük a meghatározás szerint. Ez azt mondja, hogy f(x) = f(−x). Ha a függvény páros, teljesítenie kell, hogy:

$$x^2=(-x{)}^2$$

A mínusz x négyzetét a hatványozás szabályai szerint így írhatjuk át:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

A mínusz egy négyzete egy, tehát visszakapjuk az x²-et.

$$x^2=1\cdot x^2$$

Páros-e a következő függvény?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Behelyettesítünk a meghatározásba:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Ezeket a törteket átrendezhetjük úgy, hogy az abszolút értéket nem az egész törtre tesszük, hanem áthelyezzük a számlálóba és a nevezőbe.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Átalakítjuk a második tört nevezőjét, mert az abszolút érték meghatározása szerint biztosan igaz, hogy |x| = |−x|.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Most már egyenlőséget kapunk.

A páratlanság ellenőrzése

Hogyan ellenőrizzük, hogy a függvény páratlan-e? Megint a meghatározás szerint kell eljárnunk. Ez azt mondja, hogy az f függvény páratlan, ha

$$f(-x)=-f(x)$$

Kezdjük az f(x) = x³ függvénnyel. Behelyettesítünk a meghatározásba:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

A bal oldalt ugyanúgy átírhatjuk, mint az előző példában:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

A mínusz egy köbe mínusz egy:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Tehát egyenlőséget kapunk:

$$-x^3=-x^3$$

A függvény páratlan.

Páratlan-e az adott függvény?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Behelyettesítünk a meghatározásba:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Itt nincs sok átalakítanivaló, az első tört mínuszát egyszerűen kiemeljük az egész tört elé, így ezt az egyenlőséget kapjuk:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

A függvény páratlan.

Sem páros, sem páratlan

A függvénynek nem kell sem párosnak, sem páratlannak lennie. Valószínűleg a függvények többsége ilyen. Például az f(x) = x + 1 lineáris függvény. Megpróbálunk behelyettesíteni a párosság meghatározásába:

$$x+1=-x+1$$

Kifejezzük az x-et:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

az egyenlőség nem minden x-re igaz, csak néhányra, tehát a függvény nem páros. Most a páratlanság:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Ennek az egyenletnek egyáltalán nincs megoldása, ezért a függvény nem páratlan.

Páros is, páratlan is

Létezik olyan függvény, amely egyszerre páros és páratlan? Létezik olyan függvény grafikonja, amely egyszerre szimmetrikus az y tengelyre és az origóra? A válasz igen. Pontosan egy olyan függvény van, amely egyszerre páros és páratlan, ez az f(x) = 0 konstans függvény. A függvény grafikonja pontosan egybeesik az x tengellyel.

Megjegyzés: valójában végtelen sok ilyen függvény létezik, mert definiálhatunk egy g(x) függvényt, amelynek ugyanaz a hozzárendelési szabálya, csak más értelmezési tartományon van értelmezve. Lehet például a g(x) = 0 függvény, amelynek értelmezési tartománya csak a pozitív egész számok. Ez a függvény különbözik az f(x) függvénytől, amely a valós számokon van értelmezve. A hozzárendelési szabály azonban mindig ugyanaz.

Összetett függvények

Érdekes helyzet adódik, ha két függvényünk páros vagy páratlan, és megpróbáljuk őket összeadni, összeszorozni stb. Például két páros függvény összege megint páros függvény. Rengeteg ilyen szabály és kombináció van.