A függvény értelmezési tartománya

A függvény értelmezési tartománya az összes megengedett érték, amelyet az f(x) függvényben az x argumentum helyére behelyettesíthetünk úgy, hogy a függvénynek értelme legyen.

Mi az a függvény értelmezési tartománya

Egyszerű példa az f(x) = 1/x függvény. Az értelmezési tartomány a megengedett értékek halmaza: azoké, amelyeket az 1/x függvénybe behelyettesítve érvényes kifejezést kapunk.

Ahhoz, hogy tudjuk, mi az az „érvényes kifejezés”, ismernünk kell a függvények és a műveletek tulajdonságait. A mi függvényünkben az x változóval osztunk, az x a tört nevezőjében áll. Milyen értékekkel lehet osztani? Mindegyikkel, kivéve a nullát. Nullával nem tudunk osztani, ezért a nulla nem állhat a tört nevezőjében. Az osztásnak más megszorítása nincs.

Ezért az x helyére bármilyen valós számot behelyettesíthetünk, kivéve a nullát. Az értelmezési tartomány tehát: D_f = ℝ ∖ {0}. Az értelmezési tartományt általában a D betűvel jelöljük, az alsó indexbe pedig annak a függvénynek a nevét írjuk, amelynek az értelmezési tartományát számoljuk.

Most a lehető legnagyobb értelmezési tartományt számoltuk ki. Mivel azonban az értelmezési tartományt úgy határoztuk meg, mint az x helyére behelyettesíthető értékek halmazát, az értelmezési tartomány bármelyik részhalmaza is értelmezési tartomány lesz. Néha jól jön, ha a függvényt csak bizonyos x értékekre korlátozzuk. A sorozatoknál például csak a pozitív egész számokra szorítkozunk, a szögfüggvényeknél pedig gyakran csak a [0; 2π] intervallummal számolunk.

Ha azonban olyan feladatot kapsz, amelyben a függvény értelmezési tartományát kell kiszámolni, általában az a feltételezés, hogy a lehető legnagyobb értelmezési tartományt kell meghatároznod.

Az értelmezési tartományt a függvény grafikonjáról is leolvashatjuk. Példaként vegyük az előző függvény, az f(x) = 1/x grafikonját.

Ha a grafikont vetíted az x tengelyre, megkapod az értelmezési tartományt. Ha az x pont nem eleme az értelmezési tartománynak, akkor az x tengelyre ebben a pontban merőlegesen állított egyenes nem metszi a grafikon egyetlen pontját sem. Látjuk, hogy ezt a feltételt csak a nulla teljesíti – fölötte és alatta nincs a függvény grafikonjának egyetlen pontja sem. Az összes többi szám fölött vagy alatt van ilyen pont.

Az értelmezési tartomány kiszámítása

Ahhoz, hogy egy összetett függvény értelmezési tartományát ki tudd számolni, ismerned kell mindazoknak a függvényeknek az értelmezési tartományát, amelyekből az összetett függvény áll. Másképp nem megy. Ha azt kérném tőled, hogy számold ki az f(x) = egy(x) + kettő(x) függvény értelmezési tartományát, nem boldogulnál, mert nem tudod, hogyan van meghatározva az egy és a kettő függvény. Néhány elemi függvény értelmezési tartományát megmutatjuk:

• A logaritmus értelmezési tartománya D_f = ]0; +∞[.
• A négyzetgyök értelmezési tartománya D_f = [0; +∞[.
• A tangens értelmezési tartománya D_f = ℝ ∖ {π/2 + kπ}, ahol k ∈ ℤ.
• A kotangens értelmezési tartománya D_f = ℝ ∖ {kπ}, ahol k ∈ ℤ.
• Az exponenciális függvény értelmezési tartománya D_f = ℝ.
• A lineáris függvény és a másodfokú függvény értelmezési tartománya D_f = ℝ.

Ha csak egyetlen függvényt kapsz, nagyon egyszerű a dolog. Egyszerűen megállapítjuk, mi a függvény értelmezési tartománya, megnézzük az argumentumot, és azt már csak megfelelően behelyettesítjük az egyenletbe vagy egyenlőtlenségbe. Lássunk egy példát: határozzuk meg a lg(3x + 2) függvény értelmezési tartományát. A logaritmus argumentumának pozitívnak kell lennie, ezért teljesülnie kell a 3x + 2 > 0 feltételnek. Ez egy elsőfokú egyenlőtlenség, amelyet egyszerűen megoldunk:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Az értelmezési tartomány az összes olyan x, amely kielégíti ezt az egyenlőtlenséget, tehát D_f = ]−2/3; +∞[.

Számold ki a $\sqrt{2x+8}$ függvény értelmezési tartományát.

A négyzetgyök alatt nem állhat negatív szám, ezért megoldjuk a 2x + 8 ≥ 0 egyenlőtlenséget, és ezt kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Tehát D_f = [−4; +∞[.

Számold ki az 1/x² függvény értelmezési tartományát.

A nevezőben nem lehet nulla, ezért az x² ≠ 0 feltételt vizsgáljuk. Ez akkor teljesül, ha x ≠ 0, tehát D_f = ℝ ∖ {0}.

Összetett függvények felbontása

Az összetett függvényeknél a helyzet már kicsit bonyolultabb, mert több függvényt kell figyelembe vennünk, amelyek hatnak egymásra, és fokozatosan szűkítik az értelmezési tartományt. Vegyük például ezt a példát:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Itt két feltételnek kell teljesülnie. A négyzetgyök alatti kifejezésnek nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie nullával, nem lehet negatív. Tehát x ≥ 0. A négyzetgyök azonban a tört nevezőjében van, ezért a gyök értéke nem lehet nulla, mert akkor a törtnek megint nem lenne értelme. Az előző kijelentést tehát szigorítjuk: x > 0.

A további példáknál is hasonlóan járunk el. Fontos azonban meghatározni az egymásba ágyazott függvények sorrendjét – meg kell találnunk, melyik a belső és melyik a külső függvény. Az előző példánál ez nyilvánvaló volt: a belső függvény a négyzetgyök, a külső a tört. Ha ezt a kifejezést kézzel akarnánk kiszámolni, először az x argumentumból vonnánk gyököt, és csak utána számolnánk ki a törtet. Ez egész jó fogódzó: a legbelső függvény az, amellyel a számolást elkezdenéd, ha kézzel számolnál. Következő példa:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\mathrm{tg}(x)){)}^3}$$

Most választhatjuk a fordított utat is: keressük a külső függvényeket. A külső függvény „beburkolja” a belső függvényeket. Itt az ötödik gyök nyilvánvalóan az összes többi függvényt beburkolja. Ezután a harmadik hatvány burkolja be a logaritmus eredményét, a logaritmus burkolja be a tangenst, végül pedig az x változót a tangens burkolja be. Egyszerű. A régebbi módszerrel ezt így vehetjük: ha ismerjük az x értékét, először a tangensbe helyettesítjük be. Ez tehát a legbelső függvény. Ezt az eredményt a logaritmusba helyettesítjük – ez tehát a második legbelső függvény. Ezt az eredményt megint hatványozzuk, és a végén gyököt vonunk belőle.

Bontsd fel az összetett függvényt:

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

A külső függvénnyel kezdjük. Ez a szinusz. A következő a tört, aztán a logaritmus, aztán az exponenciális függvény (képzeld el ezt a helyettesítést: 10^a), végül pedig a 2x + 3 lineáris függvény.

Bontsd fel az összetett függvényt:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

A külső függvény a 2^a exponenciális függvény. Ezután a tört következik, majd a tört nevezőjében a négyzetgyök, végül a 3x lineáris függvény.

Összetett függvények értelmezési tartománya

Ha tudsz függvényeket külső és belső függvényre bontani, már semmi akadálya, hogy meghatározd az értelmezési tartományt. Megmutatjuk rögtön egy példán:

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

A törttel kezdjük. Itt a nevezőnek különbözőnek kell lennie nullától. Felírjuk:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

A szinusz függvény tulajdonságaiból tudjuk, hogy az 1 értéket az x = π/2 pontban veszi fel. Mivel periodikus függvény, az M = {π/2 + 2kπ} halmazt kapjuk, ahol k ∈ ℤ. Ez azoknak az értékeknek a halmaza, amelyekre a nevező nulla lesz. Ezeket az x értékeket nem helyettesíthetjük be a függvényünkbe.

De ez még nem minden, meg kell nézni a szinusz függvény értelmezési tartományát is. Ez szerencsére az ℝ, tehát semmilyen módon nem korlátoz minket. A megszorítást csak a tört nevezője adja. Tehát D_f = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}, ahol k ∈ ℤ.