Függvényvizsgálat: szélsőértékek

A függvény szélsőértékei azok a pontok, ahol a függvény a legnagyobb vagy a legkisebb értékét veszi fel.

A függvény szélsőértékei

Két alaptípust különböztetünk meg – a minimumot és a maximumot. Ezen belül megkülönböztetünk abszolút maximumot/minimumot és helyi maximumot/minimumot. Az abszolút maximum az a pont, ahol a függvénynek az értelmezési tartomány összes pontja közül a legnagyobb az értéke. Ha ezt az értéket csak egyetlen pontban veszi fel, azt mondjuk, hogy szigorú maximumról van szó. A függvény ugyanis a legnagyobb értékét több pontban is felveheti, ahogy például két különböző alkalmazott is kaphatja a legmagasabb fizetést, havi 7,5 millió forintot. A minimum és a maximum meghatározása a függvényekről szóló cikkben található.

A helyi minimumot ezzel szemben csak a függvény értelmezési tartományának egy részén határozzuk meg, jellemzően valamilyen intervallumon. A helyi maximum és minimum meghatározása:

• Az f függvénynek az M ∈ D_f pontban helyi maximuma van, ha létezik olyan U = ]M − ϵ; M + ϵ[ környezet, ahol ϵ > 0, hogy minden x ∈ U ∩ D_f esetén f(x) ≤ f(M).
• Az f függvénynek az m ∈ D_f pontban helyi minimuma van, ha létezik olyan U = ]m − ϵ; m + ϵ[ környezet, ahol ϵ > 0, hogy minden x ∈ U ∩ D_f esetén f(x) ≥ f(m).

Példa olyan függvényre, amelynek végtelen sok szélsőértéke van, az f(x) = x · sin x függvény:

És miért szerepel a meghatározásban az, hogy „minden x ∈ U ∩ D_f esetén”, azaz miért kell az értelmezési tartománnyal metszetet venni? Például azért, mert az ezen a grafikonon látható függvény…

…az m = 1 pontban minimumot vesz fel, de az m = 1 pont semmilyen bal oldali környezetében nincs értelmezve a függvény, így ebben a bal oldali környezetben nem teljesülne, hogy f(x) ≥ f(m). Ha még metszetet veszünk az értelmezési tartománnyal, csak a jobb oldali környezetet kapjuk.

A szélsőértékek keresésének alapelve

Most azonban térjünk vissza az f(x) = x² + 1 függvény grafikonjához, három érintővel:

Elsősorban a c érintőre figyelünk. Látjuk, hogy az érintő a grafikont az x² + 1 függvény minimumában érinti, és vízszintes, tehát párhuzamos az x tengellyel. Az x tengely pozitív felével tehát 0 fokos szöget „zár be”. Mi lenne, ha a függvényt megfordítanánk, és minimum helyett maximuma lenne? A −x² + 1 függvény grafikonja:

Vegyük észre, hogy a c érintő, amely a −x² + 1 függvény maximumán halad át, megint párhuzamos az x tengellyel. Ebből törvényszerűség adódik: ha a függvény minimumát vagy maximumát keressük, olyan érintőt keresünk, amely párhuzamos az x tengellyel, vagyis amelynek az x tengellyel bezárt szögének tangense nulla. Az előző ábráról látható, hogy tg(0°) = 0. A deriváltak nyelvén tehát olyan pontot keresünk, amelyben a derivált nulla: f′(x) = 0.

Számítsuk ki a szélsőértéket a kedvenc f(x) = x² + 1 függvényünknél derivált segítségével. Az f függvény deriváltja f′(x) = 2x. Ezután azt keressük, mikor nulla az első derivált, vagyis megoldjuk az f′(x) = 0 egyenletet; behelyettesítés után 2x = 0. Ez triviálisan teljesül, ha x = 0. Látjuk, hogy ez egybevág azzal, hogy az f(x) = x² + 1 függvénynek az x = 0 pontban abszolút minimuma van.

Kivételek a „szabály” alól

Azt lehetne gondolni, hogy a függvénynek az x pontban akkor és csak akkor van szélsőértéke, ha a derivált ebben a pontban nulla. Ez sajnos nem igaz, a dolog nem ilyen egyszerű. Nézzük a következő példákat:

• Próbáljuk meg meghatározni az f(x) = x³ függvény szélsőértékeit. Ennek a függvénynek az első deriváltja f′(x) = 3x². Megoldjuk az f′(x) = 0 egyenletet, vagyis 3x² = 0. Ez nyilván teljesül, ha x = 0. De van-e az x³ függvénynek valamilyen szélsőértéke az x = 0 pontban? Nézzük a grafikont:

  

  Látjuk, hogy az x = 0 pontban nincs szélsőérték. Sem abszolút, sem helyi. Miért kapunk tehát ebben a pontban nulla deriváltat? Mert ebben a pontban egyszerűen a t érintő párhuzamos az x tengellyel, lásd a következő ábrát:

  

• Mi a helyzet az olyan kedves függvénnyel, mint az f(x) = |x|, vagyis az x abszolút értéke? A grafikonról leolvashatjuk, hogy az x = 0 pontban abszolút minimuma van:

  

  Csakhogy ennek a függvénynek az x = 0 pontban nincs deriváltja! Az x = 0 pontban a függvénynek nincs érintője, mert nehéz volna megmondani, hogyan nézne ki az az érintő.

Tehát az igaz, hogy:

• Ha az f függvénynek az x pontban szélsőértéke van, azaz minimuma vagy maximuma, és ebben a pontban létezik a derivált (!), akkor ez a derivált nulla. Előfordulhat, hogy a függvénynek az x pontban szélsőértéke van, és ugyanakkor az adott pontban a függvénynek egyáltalán nincs deriváltja.

• Ha az f függvény deriváltja az x pontban nulla, akkor ebben a pontban lehet szélsőérték, de nem kell, hogy legyen.

Hogyan találjuk meg a függvény szélsőértékeit

Tegyük fel, hogy adott egy f függvény, amely az egész értelmezési tartományán deriválható. Az első lépésben tehát deriváljuk az f függvényt, és megkapjuk az f′ függvényt. Ezután az első deriváltat nullával tesszük egyenlővé, vagyis megoldjuk az f′(x) = 0 egyenletet. Az egyenlet megoldásai a szélsőértékre „gyanús” pontok, más néven stacionárius pontok.

Ezután el kell döntenünk, hogy e stacionárius pontok közül melyik szélsőérték. Ezt például az f függvény második deriváltjából tudjuk meg. Ha s stacionárius pont, vagyis f′(s) = 0, akkor ha f′′(s) > 0, az s pontban minimum van, ha pedig f′′(s) < 0, akkor az s pontban maximum van.

Ha a második derivált is nulla ebben a pontban, akkor tovább kell deriválnunk, erről később. Most egy példa. Legyen az f(x) = 3x² + 6x függvény. Keressük meg a szélsőértékeit.

Kiszámítjuk az első deriváltat: f′(x) = 6x + 6. Az első deriváltat egyenlővé tesszük nullával:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

Az x = −1 pontban tehát stacionárius pont van, vagyis a szélsőértékre gyanús pont. Kiszámítjuk a második deriváltat. Ez az f′′(x) = 0x + 6 függvény. Az x = −1 pontot behelyettesítve f′′(−1) = 6-ot kapunk. Az eredmény pozitív, a függvénynek az adott pontban minimuma van. A grafikon:

Mi van, ha a második derivált is nulla?

Próbáljuk meg megkeresni az f(x) = x⁴ függvény szélsőértékét, a grafikon:

Ennek a függvénynek az első deriváltja f′(x) = 4x³. Az f′(x) = 0 egyenlet megoldása természetesen az egyetlen s = 0 stacionárius pont. Kiszámítjuk a második deriváltat, ez f′′(x) = 12x². Ebbe a második deriváltba behelyettesítjük az s stacionárius pontot, így

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0$$

adódik. Nullát kaptunk, és abból, amit eddig elmondtunk, nem tudjuk megállapítani, hogy a pontban van-e szélsőérték. De mi látjuk, hogy a pontban szélsőérték van. Ha ez a helyzet áll elő, tovább deriválunk. Megkeressük a harmadik deriváltat, és behelyettesítjük az s stacionárius pontot. Ha nullától különböző szám jön ki, akkor az s pont az ún. inflexiós pont (erről később). Ha nulla jön ki, tovább deriválunk. A negyedik deriváltnál ugyanúgy döntünk, mint a másodiknál – behelyettesítjük a stacionárius pontot, és pozitív függvényérték esetén ott minimum van, negatív esetén maximum.

A harmadik derivált f′′′(x) = 24x, behelyettesítés után f′′′(0) = 0, tehát tovább deriválunk. A negyedik derivált alakja f′′′′(x) = 24. Látjuk, hogy a negyedik derivált már mindig pozitív, amiből – a második deriválthoz hasonlóan – levezethetjük, hogy a függvénynek az s = 0 pontban minimuma van. És valóban van is.

A függvény szélsőértékei megkeresésének összefoglalása

1. Adott az f függvény, amely deriválható.

2. Az f függvényt deriváljuk.

3. Megoldjuk az f′(x) = 0 egyenletet. Az egyenlet összes s megoldását stacionárius pontnak, azaz a szélsőértékre gyanús pontnak nevezzük.

4. Kiszámítjuk a második deriváltat.

5. Kiszámítjuk a második derivált értékét az összes s stacionárius pontban. Ha f′′(s) > 0, a függvénynek az s pontban minimuma van, ha f′′(s) < 0, akkor az s pontban maximum van. Ha f′′(s) = 0, akkor tovább deriválunk.

   Tipp: ha nem akarod megjegyezni, hogy a második deriváltnak pozitívnak vagy negatívnak kell-e lennie ahhoz, hogy az adott helyen maximum vagy minimum legyen, vezesd le például az x² függvényből. Ennek a függvénynek a grafikonját ismerned kell, az első és a második derivált pedig egyszerű: f′(x) = 2x és f′′(x) = 2. A második derivált tehát mindig pozitív, és az x² függvénynek az x = 0 pontban minimuma van.

6. Kiszámítjuk a harmadik deriváltat. Ha f′′′(s) ≠ 0, akkor az s pontban inflexiós pont van, ellenkező esetben tovább deriválunk.

7. Kiszámítjuk a negyedik deriváltat. Ha f′′′′(s) ≠ 0, akkor a pontban szélsőérték van. Különben tovább deriválunk.

8. És így tovább, és így tovább. Ha az első nullától különböző derivált páratlan rendű, akkor inflexiós pontról van szó. Ha az első nullától különböző derivált páros rendű, akkor szélsőértékről van szó.