Egységkör

Az egységkör egy közönséges kör, amely mértékegység nélküli, pontosabban a sugara egyenlő eggyel. Az egységkör arra szolgál, hogy szemléletesen ábrázoljuk vele az egyes szögfüggvények meghatározását.

Mi az egységkör

Az egységkör olyan kör, amelynek a sugara egységnyi, a középpontja pedig a koordináta-rendszer origójában van, vagyis az O(0; 0) pontban. Nézd meg a következő ábrát:

A kört négy részre osztottuk, ezeket síknegyedeknek hívjuk. Jobbra fent az első síknegyed van, balra fent a második, balra lent a harmadik és jobbra lent a negyedik. Mivel ezt a kört szögek ábrázolására fogjuk használni, a körön feltüntettük a fokokat. Ahol a 0° van, ott általában a szög szára kezdődik, és innen felfelé fordul. Ezért van a (0; 1) pont derékszöggel megjelölve.

A szinusz és a koszinusz meghatározása a körön

Az egységkörön nagyon szépen ábrázolhatók az egyes szögfüggvények. Először felmérünk az egységkörre egy szöget, majd megmutatjuk, hol olvashatók le az egységkörön az egyes függvények értékei.

Felmértük a körre az AOB szöget (pirossal). Ezt a szöget alfának neveztük el. A szög szárai két pontban metszik az egységkört: az A és a B pontban. Számunkra a B pont lesz fontos. Ha a B pontból az x tengellyel párhuzamos egyenest húzunk (az ábrán ez a szaggatott vízszintes vonal), ez az egyenes az y tengelyt pontosan egy pontban metszi. Ezt a pontot jelöljük P_s-sel. Ekkor az OP_s szakasz (zöld szakasz) hossza egyenlő az alfa szög szinuszával.

Mivel olyan egységkörben mozgunk, amelynek a középpontja a koordináta-rendszer origója, az OP_s szakasz (zöld szakasz) hossza egyenlő a P_s pont y koordinátájával, ami egyenlő a B pont y koordinátájával.

Ugyanezen a körön a koszinuszt is leolvashatjuk. Húzzunk tehát a B ponton át az y tengellyel párhuzamos egyenest. Ez az egyenes az x tengelyt egy pontban metszi, ezt jelöljük P_c-vel. Az OP_c szakasz hossza ekkor egyenlő az alfa szög koszinuszával. Itt is elmondhatjuk, hogy ez az érték egyenlő a B és a P_c pont x koordinátájával.

A tangens és a kotangens meghatározása

Ahogy az egységkörön meghatároztuk a szinuszt és a koszinuszt, itt meghatározhatjuk a tangenst és a kotangenst is. Az áttekinthetőség kedvéért először megmutatjuk, hol jelenik meg az egységkörön a tangens. Ehhez még egy egyenesre lesz szükségünk. Ez az y tengellyel párhuzamos egyenes lesz, amely átmegy az A ponton, vagyis az (1; 0) ponton. A következő ábrán ez a kék egyenes:

Ez az egyenes egy pontban metszi az OB félegyenest (a szög szárát), ezt a pontot jelöljük P_t-vel. Az AP_t szakasz hossza ekkor egyenlő az alfa szög tangensével. Itt is igaz, hogy elég venni a P_t pont y koordinátáját, és szintén megkapjuk az alfa szög tangensét.

Hogy a kotangenst is ábrázoljuk az egységkörön, még egy egyenesre lesz szükségünk. Ezúttal olyan egyenesről van szó, amely átmegy a (0; 1) ponton, és párhuzamos az x tengellyel. Ezt is kék szín emeli ki:

Ez az egyenes egy pontban metszi az OB félegyenest (a szög szárát), ezt a pontot jelöljük P_k-val. A CP_k szakasz hossza ekkor egyenlő az alfa szög kotangensével. Mint mindig, elég venni a P_k pont x koordinátáját, és megkapjuk a szög kotangensét.

Az a kérdés, mi történik, ha az alfa szög a tangensnél nagyobb 90°-nál, a kotangensnél pedig nagyobb 180°-nál, mert ilyenkor az egyenes nem metszi a szög szárát, lásd a következő ábrát:

Ilyenkor az OB félegyenest egyenessé hosszabbítjuk meg, és ez az egyenes már metszi a p egyenest.

A tangensnél is hasonlóan járnánk el.

Mikor nem értelmezett a tangens és a kotangens

Az egységnyi sugarú körön észrevehetünk egy érdekes dolgot. Ha az alfa szög 180°, akkor a p egyenes és a szög szára soha nem metszik egymást, mert párhuzamosak lesznek. Hogyan javítjuk ki ezt a problémát? Sehogy, a 180° kotangense nem értelmezett. Hasonlóan nem értelmezett a 90° tangense, mert egy ilyen szár párhuzamos az y tengellyel, így párhuzamos azzal az egyenessel is, amellyel metszenie kellene. A következő ábra ezt legalább a kotangensre mutatja.